Fonksiyonların Özelliklerini Karşılaştıralım: Ortak Özellikler

f(x) ve g(x) in ortak özelliklerini arayacağız f(x) "x küp eksi x" olarak verilmiş, g(x) ise grafikte gösterilmiş. Burada da bazı özellikler verilmiş. O zaman bu özelliklere teker teker bakıp soruyu çözmeye başlayalım. "İki fonksiyon da tek fonksiyondur" diyor... Peki Grafikte verilen g fonksiyonuna bakarsak, bu fonksiyonun tek olmadığını söyleyebiliriz. Çünkü biliyosunuz tek fonksiyonların orijinden geçmeleri gerekiyor. g (0)'ın sıfıra eşit olması gerekir. Tek fonksiyonun tanımını hatırlayalım, g(x)'in eksi g(eksi x)'e eşit olması gerekir. Örneğin, g fonksiyonunun 3 için değeri 4. Eğer g fonksiyonu tek olsaydı, "eksi 3" için değerinin "eksi 4" olması gerekirdi. Fakat grafiğe baktığımızda g(eksi 3)'ün "eksi 4"e eşit olmadığını görüyoruz. O halde, ilk incelediğimiz özellik, ortak bir özellik değilmiş. İkinci özellik, "x eksenini kesen ortak bir noktada keserler". g fonksiyonu x eksenini sadece "eksi 3" noktasında kesiyor. F fo nksiyonun x eksenini kesen noktalarını bulmak için bu fonksiyonu çarpanlarına ayıralım. Öncelikle, x parantezine alalım, "x çarpı x kare eksi 1". "x kare eksi 1" ise bir "kareler farkı", o halde "x artı 1 çarpı x eksi 1" şeklinde yazabiliriz. Peki, f fonksiyonu ne zaman sıfıra eşit olur? Sırasıyla, "x" sıfır, "eksi 1" ve "1" iken, f(x) sıfıra eşit olur. f fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar bunlar. Buradan görebileceğiniz gibi, g ve f fonksiyonlarının x eksenin kesen ortak bir noktaları yok. O halde, 2. Özellik de yanlış! 3. özellik fonksiyonların çok büyük ve çok küçük değerleri için davranışlarının aynı olduğunu söylüyor. Peki, bu ne demek? O zaman fonksiyonun aldığı değerlerin, x büyüdükçe ve küçüldükçe nasıl değiştiğine bakmamız gerekiyor. F(x) fonksiyonuna bakalım, x büyüdükçe, "x küp"ün değeri eksi x'e göre daha hızlı büyüyecek, öyle değil mi? Yani f(x) fonksiyonunun değeri x büyüdükçe, büyüyecek. Başka bir deyişle, x sonsuza yaklaştığı zaman f(x) fonksiyonu da sonsuza yaklaşmış olacak. Peki, x küçüldükçe f(x)'e ne olacak? x'in alacağı çok çok küçük değerler için, "x küp" küçülecek, dolayısıyla f(x)'de küçülecek, yani x eksi sonsuza yaklaştıkça, f(x)'te eksi sonsuza yaklaşacak. G(x) için de aynı davranışı gözlemleyebiliriz. Grafiğe bakarsak, g fonksiyonunun x'in artan değerleri ile arttığını, x'in azalan değerleri için de azaldığını görebiliriz. O halde, 3. Özellik doğru! Son özellik ise iki fonksiyonun aynı x değeri için yerel maksimumları olduğunu söylüyor. Bu özelliği değerlendirmek için fonksiyonların maksimumlarını bulmamız gerekiyor. Aslında, maksimumları bulmadan önce sadece grafiğe bakarak bunun yanlış olduğunu söyleyebiliriz, neden mi? Çünkü g fonksiyonunun yerel bir maksimumu yok! Yerel maksimum için parabolik bir fonksiyona sahip olmamız gerekir. Mesela, bu şekilde çizilen bir fonksiyonda, bu nokta yerel maksimumu gösterir, çevresindeki noktalardan büyük bir değer almıştır fakat fonksiyon başka bir nokta da daha büyük bir değere sahiptir ve bu maksimumun üzerine çıkar. G fonksiyonu yerel bir maksimuma sahip olmadığına göre, 4. Özellik yanlış demektir! Bir tek 3. Özellik iki fonksiyon için de ortak bir özelliktir.