Cebirsel Modellerin Simetrisi

Ali bir tahta parçasını zımparalarken, zımpara kağıdını değişik yönlerde kullanarak ne kadar tahta zımparalayacağını bulmaya çalışıyor. Yani tahtanın kalınlığının ne kadarının zımparalanıp talaş haline geleceğini bulmaya çalışıyor. Tahtanın zımparalanıp eksilen kalınlığının zımpara kağıdının hızı türünden fonksiyonu ise k( h) olarak verilmiş. Burada kalınlık milimetre olarak ve kağıdın hızı da metre bölü saniye olarak veriliyor. Bu notasyonda, K zımparalanıp eksilen tahtanın kalınlığına işaret ediyor. Ve bu kalınlık hızın bir fonksiyonu olarak veriliyor. Aşağıdaki tabloya baktığımız zaman, hızın pozitif ve negatif değerler aldığını hem pozitif hem de negatif değerler aldığını görüyoruz o halde hızın yönü bizim için önemli. Ve aynı tabloda, hızın fonksiyonu olarak ne kadar tahta zımparalandığını da görebiliriz. Devam edelim Hız sıfırdan büyük olduğunda zımpara kağıdı sağa doğru hareket ediyor. Bu oldukça açık. Hız sıfırdan küçük olduğunda ise, zımpara kağıdının sola doğru hareket ettiği söyleniyor. Ve son olarak, bu fonksiyonun "çift" olduğu verilmiş. Ve fonksiyonun çift olmasının önemini yorumlamamız isteniyor. Çift fonksiyonun tanımını hatırlayalım K(h) nin k(eksi h) ye eşit olması gerekiyor. Tabloya baktığımızda, hızın sola doğru saniyede 8 metre olduğu bir harekette zımparalanan yani talaş haline gelen tahta kalınlığının hızın sağa doğru saniyede 8 metre olduğu bir harekette zımparalanan tahta kalınlığına eşit olduğunu görüyoruz. Sağa ve sola doğru saniyede 6 metrelik bir hareket ile zımparalanan tahta kalınlığı da eşit. Aynı şekilde, hızın sağa ya da sola yine 4 metre bölü saniye olduğu durumda da zımparalanan kalınlık aynı. O halde, sağa ya da sola doğru zımparalamanın hiç fark etmediğini söyleyebiliriz, öyle değil mi? Sağa ya da sola doğru zımparaladığımızda aynı kalınlıkta tahta zımparalıyoruz. Ama asıl önemli olan, hızın büyüklüğü. Şimdi verilen cevapların üzerinden geçelim ve hangi cevapların düşündüklerimiz ile tutarlı olduğunu görelim. Birinci cevapta, zımpara kağıdını daha hızlı kullanırsak daha fazla tahta zımparalarız deniyor. Evet, bu doğru! Tabloya bakarsak, hızın büyüklüğü arttıkça zımparalanan miktarın yani zımparalanıp talaş olan miktarın arttığını görüyoruz. Dikkat etmemiz gereken nokta ise, burada büyüklükten bahsediyoruz. Yani hızın eksi 8 değerinin eksi 2 değerinden küçük olduğunu söyleyebilirsiniz. Bu matematiksel olarak doğru ama hızın eksi 8 metre bölü saniye değeri eksi 2 metre bölü saniye değerinden büyük birinde saniyede 8 diğerinde saniyede 2 metre gidiyoruz. Bu cevap doğru ama fonksiyonun çift olması ile alakalı değil. Bu değer 7 olsaydı mesela bu cevap yine doğru olurdu ama fonksiyon çift bir fonksiyon olmazdı. İkinci cevap tahta parçasının 6 milimetre kalınlığında olduğunu söylüyor. Bu cevap soru ile alakalı değil, soruda verilen bilgileri kullanarak bu cevaba hiç bir şekilde ulaşamayız. Üçüncü cevapta zımpara kağıdının sağa ve sola hareketinin aynı etkiyi yarattığı söyleniyor. Bu cevap düşündüklerimizle çok yakın, öyle değil mi? Biraz önce, sağa ya da sola doğru aynı hızda zımparaladığımızda aynı miktarda aynı kalınlıkta tahta zımparaladığımızı söylemiştik. Bu doğru cevap gibi görünüyor. Son cevapta ise zımpara kağıdını sabit tutarsak tahtanın zımparalanmayacağı, zımparalanamayacağı söyleniyor. Bu da doğru ama bu durum fonksiyonun çift olmasından kaynaklanmıyor.