Ana içerik

Konu: Cebir 2 > Ünite 8

Ders 4: Logaritmada Taban Değiştirme Formülü

Logaritma Taban Değiştirme Kuralı

Herhangi bir logaritmayı, farklı tabandaki logaritmaları kullanarak tekrar yazmayı öğrenelim. Bu yöntem, özellikle de hesap makinesinde logaritma bulurken çok yararlıdır!

\log_{2} (50)

ifadesinin değerini bulmak istediğimizi varsayalım.

50

2

'nin rasyonel bir kuvveti olmadığından, bunu hesap makinesiz bulmak zor olurdu.

Bununla birlikte, hesap makinelerinin çoğu sadece

10

tabanlı ve

e

tabanlı logaritmaları doğrudan hesaplar. Dolayısıyla

\log_{2} (50)

'nin değerini bulmak için, önce logaritma tabanını değiştirmeliyiz.

Taban değiştirme kuralı

Herhangi bir logaritmanın tabanını aşağıdaki kuralı kullanarak değiştirebiliriz:

Notlar:

Bu özelliği kullanırken, logaritmayı herhangi bir $x$ ‍. tabanına değiştirmeyi seçebilirsiniz.
Her zaman olduğu gibi, bu özelliğin geçerli olması için, logaritmaların argümanları pozitif olmalıdır ve logaritmaların tabanları pozitif olmalı ve $1$ ‍'e eşit olmamalıdır!

Örnek: $\log_{2} (50)$ ‍'yi hesaplama

Hedefiniz logaritmanın değerini bulmaksa, tabanı

10

veya

e

'ye değiştirin, çünkü bu logaritmalar hesap makinelerin çoğunda bulunabilir.

Onun için

\log_{2} (50)

'nin tabanını

10

olarak değiştirelim.

Bunu yapmak için, taban değiştirme kuralını

b = 2

a = 50

, ve

x = 10

ile uyguluyoruz.

$\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} & Taban değişimi kuralı \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & Çünkü \log_{10} (x) = \log (x) \end{aligned}$ ‍

Şimdi hesap makinesi kullanarak değeri bulabiliriz.

$\begin{array}{r} \approx 5, 644 \end{array}$ ‍

Konuyu ne kadar iyi anladığınızı test edin

1) $\log_{3} (20)$ ‍'yi hesaplayın.
Cevabınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.

2) $\log_{7} (400)$ ‍'ü hesaplayın.
Cevabınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.

3) $\log_{4} (0, 3)$ ‍'ü hesaplayın.
Cevabınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.

Taban değiştirme kuralını açıklama

Bu noktada, şöyle düşünüyor olabilirsiniz, "Güzel, ama bu kural neden işe yarar?"

$\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)} \leftarrow Taban değişimi kuralı$ ‍

Bunu incelemek için, başlangıçtaki

\log_{2} (50)

değerine dönelim.

\log_{2} (50) = n

dersek,

2^{n} = 50

sonucuna varırız.

İki değer birbirine eşit olduğundan, her iki tarafın logaritmasını herhangi bir tabanda alabiliriz. Şimdi bunu elde ederiz:

$\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log_{x} (2^{n}) & = \log_{x} (50) & If Y = Z, then \log_{x} (Y) = \log_{x} (Z) \\ n \log_{x} (2) & = \log_{x} (50) & Kuvvet Kuralı \\ n & = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)} & İki tarafı da \log_{x} (2) ile bölün \end{aligned}$ ‍

n = \log_{2} (50)

olduğundan, istediğimiz gibi

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

elde ettik!

Aynı mantıkla, taban değiştirme formülünü ispatlayabiliriz.

2

'yi

b

'ye ve

50

'yi

a

'ya değiştirin ve ispatınız hazır olur!

Zor problemler

1) $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍ değerini hesap makinesi kullanmadan bulunuz.

2) Hangi ifade $\log (6) \cdot \log_{6} (a)$ ‍ ile denktir?

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Tuğçe Ilğar
6 yıl önce önce paylaşıldı. Tuğçe Ilğar kullanıcısının ''log 12 tabanında 2 = a is'...' gönderisini görmek için direkt link
log 12 tabanında 2 = a ise log 3 tabanında 4 ün a türünden değeri nedir
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(2 oy)
Cevap
- Marsienna
  2 yıl önce önce paylaşıldı. Marsienna kullanıcısının ''(a-2)/2 olur cevap. log1'...' gönderisini görmek için direkt link
  (a-2)/2 olur cevap.
  
  log12 tabanında 2'yi log 2 tabanında 4 artı log 2 tabanında 3 diye açarız.
  
  tabanı ve yandakinin üssünü 2 ile genişletiriz.
  
  log 3 tabanında 4'ün tersi türünden bulabiliriz.
  hepsinin tabanı 4 olmuş olur a türünden.
  
  2+2.(logaritma 4 tabanında 3 eşittir a olur.
  
  logaritma 4 tabanında 3'ü yalnız bıraktığımız zaman,
  (a-2)/2 olur.
  Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
  (0 oy)

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Cebir 2