Logaritmik Ölçek

Tahmin ediyorum ki doğrusal ölçekleri önceden de biliyorsunuz. Bunlar matematik derslerinizin çoğunda gördüğünüz tipten ölçekler ve bu yüzden neden bahsettiğimizi bildiğinizden eminim. Konuya birazcık daha farklı bir açıdan bakacağız. Şimdi bir sayı doğrusu çizeyim. 0 noktamızı da yazalım. Eğer bu mesafeyi sağa doğru kat edersem bu 10 eklemekle aynı Yani 0'dan başlayıp 10 birim mesafe gidersem, sonuç da 10 olacak. Eğer bu yönde aynı mesafeyi kat edersem tekrar 10 eklemiş olacağım ve cevap 20 olacak. Bunu yapmaya devam ettikçe de sonuç 30, 40, 50 diye devam edecek. Buna ek olarak eğer diğer yönde ilerlersek yani buradan başlar ve aynı mesafede gidersek yaptığımız şey 10 çıkarmak olur. 10 eksi 10 eşittir 0. Sola doğru aynı mesafede tekrar ilerlersek -10'a ulaşırız ve devam edersek de -20'ye. Sonuçta temel fikir, bu mesafeyi sağa doğru ne kadar gidersek sonucu bulmak için toplama işlemi kullanırız. Yani aslında 10'un katlarını ekliyoruz. Eğer bu işlemi iki kez yaparsak 2 çarpı 10 eklemiş oluyoruz. Ve bu sadece tam sayılar için değil, kesirli sayılar için de geçerli. Örneğin 5 nerede olurdu? 5'e ulaşmak için 10'u bir sayıyla çarpmalıyız. Kaç katını alacağımızı bulmanın kolay yolu da 5'in 10'un yarısı olduğunu düşünmek. O zaman 10'un sadece yarısı kadar gideceksek yarım mesafe yol gitmek zorundayız demektir. Yani bu yolun yarısını gidersek 1/2 çarpı 10 kadar gitmiş oluruz. Bu durumda da mesafe 5 olur. Eğer sola gidersek, -5'e gitmiş oluruz. -5'i biraz daha ortaya çizeceğim, aslında burada pek yeni bir şey öğrenmedik. Sadece, bu videomuzda logaritmalar üzerinde çalışmaya başlamadan önce bizim için kullanışlı gözüken konseptlerden bir tanesini inceliyoruz. Bu sadece bildiğiniz sayı doğrusu. Buraya 1 koymak istersek, mesafenin 1/10'u kadar ilerleyecektik. Çünkü 1, 10'un 1/10'udur. 1, 2, 3, 4 aslında bu şekilde istediğim sayıyı koyabilirim Şimdi, bu 10 eklediğimizde veya çıkardığımızdaki durum fakat bu sadece ne yaptığımızla ilgili alternatif bir düşünme yolu. Buraya bir doğru daha çizelim. Bunun logaritmik sayı doğrusu olacağını tahmin ediyorsunuz. Biraz yer bırakalım ve bu logaritmik sayı doğrusuna 1'den başlayalım. İlk örnekten sonra neden 0'dan başlamadığımı düşünebilirsiniz ki nedenini birazdan göreceksiniz. 1'den başladım ve bu sefer yine aynı yöne 10 birim gideceğim fakat bu sefer aynı yöne gitmek 10 eklemektir demek yerine her sağa gitmek 10'la çarpmaktır diyeceğim. Yani eğer 1'den başlarsam ve 10 ile çarparsam 10'a ulaşırım. Ve sonra tekrar aynı mesafeyi gidersem 10 ile çarpmış olurum ve bu beni 100'e götürür. Sanıyorum buradaki farkı anladınız. Peki sola gidersem ne olur? Ne olacağını bence doğru tahmin ediyorsunuz çünkü eğer 100'den başlarsam ve sıfıra doğru bu mesafede ilerlemek istersem 10'a bölmem gerekir. 100'ü 10'a böldüm ve cevap 10 oldu. 10 bölü 10 da 1 eder. Ve sola doğru devam edersem tekrar 10'a bölmüş olurum. Bu da 1 bölü 10 eder. Bir kere daha sola doğru gidersem, sonuç 1 bölü 100 olur. Yani temel fikir sağa ne kadar gidersem 1'i o kadar kez 10 ile çarpıyorum. Mesela, bu mesafeyi 2 kere gittiğimde bu 10 çarpı 10'dan yani 10'un 2'nci kuvvetini alıyorum. Kısaca kaç kere sağa gidiyorsam onu 10 üssü o sayı olarak yazıyorum. Eğer sola aynı mesafeyi iki kere gidersem - başka bir renk kullanayım bir saniye. Eğer sola aynı mesafeyi iki kez gidersem bu da 10'a 2 kere bölmekle ayı şey olacak. 10'a bölmek. Başka bir şekilde söylemek gerekirse 1 bölü 10 üzeri 2 ile çarpmak da diyebiliriz. Ya da 10 üzeri 2 ile bölmek de diyebiliriz. Anlayabileceğiniz gibi biraz alıştıktan sonra bunu oldukça rahat biçimde devam ettirebiliyorsunuz Bir karşılaştırma yapacak olursak logaritmik sayı doğruları bize normal sayı doğrularına göre çok daha fazla bilgi sunma olasılığı sağlıyor. Aynı boyuttaki doğruya 100'ü de, 1/100 gibi çok küçük sayıları da sığdırabiliyoruz. Burada küçük ölçeklerdeki yapıyı göremiyoruz ve çok da büyük sayılara gidemiyoruz. Bu doğruda biraz daha ilerlerseniz 1000'e ve sonra da 10000'e ulaşabilirsiniz. Yani bu doğruda çok daha büyük bir ölçek var. Başka bir nokta ise bu grafikte sağa veya sola gitmenize göre toplayıp çıkarıyorsunuz. Yani eğer bu sabit mesafeyi ekliyorsak sağa, çıkarıyorsak da sola gidiyoruz. Aynı şeyi logaritmik sayı doğrusunda yaptığınızda bu her logaritmik sayı doğrusu için geçerlidir doğruyu sabit bir sayı ile genişletiyor oluyorsunuz. Bu sabit çarpan ile ilgili düşünülebilecek konseptlerden biri de üslü sayılardır. Eğer ki 2 bu doğru üzerinde nerede diye sorsa yok yok bir saniye böyle başlasam daha iyi 100 bu doğruda nerede diye sorsaydım ki elimde bu şekilde sayıların bulunduğu bir doğru olmayacaktı 100'e ulaşmak için 10'u kaç defa kendisiyle çarpacağım derdim. Bu sorunun mantığı gitmem gereken mesafeyi, kaç adımda gitmem gerektiği ile aynı. Yani temelde 10 üzeri kaç 100 eder diye düşünmem lazım. Sonra da soru işaretinin 2'ye eşit olduğunu bulurum. Bu kadar basit. Yani 100'e ulaşmak için bu mesafeyi 2 kere giderim. Aynı şeyi ifade etmenin bir diğer yolu da log 10 tabanında 100 eşittir soru işareti. Soru işareti belli ki 2'ye eşit. Bu ifade tarzı kısaca şunu söyler doğru üzerinde 100'ü işaretlemek için 10'luk mesafelerden iki kere gitmeliyiz. Benzer bir şekilde 2'yi nereye çizmem konusunda da aynı yöntemi uygularım. Yani, 10'un kaçıncı kuvveti 2'ye eşittir? Ya da log 10 tabanında 2 neye eşittir? Her zamanki gibi, hesap makinamızı çıkaralım Sadece log yazabiliriz, çoğu hesap makinesinde taban yazılmaz çünkü taban 10 kabul edilir. Yani log 2 kabaca 0.3'e eşit. 0.301 Cevap 0.301. Bu da bize 2'ye ulaşmak için 10 birimlik mesafeden bu kadar sayı gitmemiz gerektiğini söyler. Yani bu mesafenin 0.301'i kadarını alacağız. Bu da kabaca bunun 3'te 1'i demek. Aslında 3'te 1'inden biraz daha az olacak yani 0.3, 0.33 değil. Yani 2 burada olacak. Şimdi, bunula iligli güzel şey ise bu 2'ye varmak için yaptığımız şeyin 2 ile çarpım anlamına gelmesi. Aynı mesafeyi tekrar alırsak sonuç 4 olacak. Aynı mesafeyi tekrar alırsak da 8 olacak. Peki, 10'luk ilerleyişe göre 5 nereye çizilecek deseydik ne yapmalıydık? Bunu yapmanın birkaç yolu var. Log 10 tabanında 5 ile cevap bulunur ve sayı doğrusunda nereye konacağı anlaşılır. Ya da kendimize diyebiliriz ki: Eğer 10'dan başlarsam ve bu mesafeyi sola doğru alırsam 2'ye bölerek cevaba ulaşabilirim. Yani eğer bu mesafeyi sola doğru alırsam 2 ile bölüyor olurum. Şimdi, 10'dan başladık ve aynı mesafeyi aldık. Yani 2'ye bölüyoruz. Yani burası 5 olur. Şimdi, 3'ü nereye çizebilirim diye soralım. Bunu cevaplamak için, 2'ye yaptığımız şeyin aynısını yapabiliriz. Kendimize soruyoruz. 10'u kaçıncı kuvvetini almalıyız ki cevap 3 olsun? Bunun için de hesap makinesini tekrar çıkarıyoruz. log 10 tabanında 3 0.477'ye eşitmiş. Neredeyse bu mesafenin ortası. Bu mesafenin yarısı böyle bir şey olacak. Bu yüzden, 3 burada olacak. Logaritma diğerlerini bulmak için de uygun. 6,7 ve 9 eksik. O zaman 9'a ulaşmak için tekrar 3'le çarpıyoruz. Bu 3 birimlik mesafe. Aynı mesafeyi gidersek, tekrar 3'le çarparız. 9 da buraya sıkışıyor. 6'ya ulaşmak istiyorsak da, 2 ile çarpmamız yeterli. Ve zaten 2 ile çarpmamız gereken mesafeyi de biliyoruz. İşte burada. Yani bunu 2 ile çarparız. Böylece bu mesafeyi tekrar alırız ve 6'ya ulaşırız. 7'nin nerede olduğunu bulmak için de, tekrar logaritma alınır. Burada hesaplayayım. log 7'yi alırsak bu kabaca 0.85 oluyor. 7'de buraya bir yere sıkışacak. Kabaca burada. Az önce gördükleriniz hakkında size birkaç şeyden bahsedeceğim. Birincisi logaritmik doğruya daha çok değer sığdırabiliyoruz. Vi Hart ile yaptığım videoda kendisi size her şeyi nasıl logaritmik ölçekte algıladığımızdan bahsetmişti. Bu yüzden insan algısını anlamak için de önemli bir konu. Ancak asıl ilginç olan şey ise logaritmik doğruda sabit bir mesafe gidiyorsak belli bir sabitle çarparız. Belki dikkatinizi çekmiştir, bununla ilgili ilginç şey sayıları normalde gördüğümüz gibi aynı aralıkla dizilmiş bir şekilde görmememiz. 1'den 2'ye büyük bir sıçrayış var. 3'ten 4'e daha az. Sonra da 4'ten 5'e, 3'ten 4'e olduğundan daha küçük bir atlayış. 5'ten 6'ya daha da küçük. Sonra da 7, 8, 9 7 burada olacak. İyice araya sıkışmış. Oldukça dar. Ve sonra da 10 gelir. Sonra başka bir büyük sıçrayış gelir çünkü tekrarlıyorum, 20'ye gitmek için 2'yle çarpmak gerekiyor. Sadece tekrar 2'yle çarpmak zorundasınız. Böylelikle mesafe 20'ye ulaşır. Burada buradaki mesafeyi alırsanız 30'a ulaşırsınız, çünkü 3 ile çarpıyorsunuz. Burası 3 kat mesafe. Ve sonra da aynı şeyi buraya tekrar çizeriz. Logaritmik sayı doğrularının neden böyle göründüğünü açıklamamın size bu konuda biraz farkındalık kazandırdığını ve sizi bu konseptin faydalarıyla ilgili sizi biraz bilgilendirdiğini umuyorum. Hoşçakalın.