Logaritma Özellikleri 1

Logaritmaların özelliklerileriyle ilgili olan bu sunuma hoşgeldiniz. Bu sunumda logaritma içeren soruları çözerken, biraz el alışkanlığı kazanacağız. Bu konuyla ilgili videolara baktığınızda, logaritmaların özellikleri, ve bu özelliklerin kanıtlanmasının sıkça üzerinde durduk. Bu videoda size, logaritmaların özelliklerinden birkaç tanesini daha göstereceğim. Sonrasında da bu özellikleri birkaç soru üzerinde uygulayacağız.. Bu birazcık zahmetli olabilir. Önce, logaritmanın ne olduğu konusunda biraz tekrar yapalım. Mesela, a üzeri b, eşittir c olsun. Bu eşitliği üslü sayılarla yazdık. Şimdi bunu logaritma olarak yazalım. Yani logaritma a tabanında c b'ye eşit diyebilirdik. Bunlar aslında aynı şeyleri temsil ediyorlar; ama sonuçları farklı. Mesela birinde, a ve b'yi biliyoruz ve c'yi elde ediyoruz. Üslü sayılarla yaptığımız şey bu. Diğerinde ise c'yi, a'yı biliyoruz; ve a'nın hangi kuvvetinin bize c'yi verdiğini buluyoruz. Yani, ikisi de tamamen aynı bağıntıya sahip; fakat farklı şekillerde ifade edilmişler. Şimdi size logaritmaların bazı başka özelliklerini göstereceğim. Aslında hepsi bu yazdığımız ilişkiden ve temel üslü sayılar kurallarından ortaya çıkıyorlar. İlk üzerinde duracağımız özellik: Logaritma b tabanında a artı, logaritma b tabanında c. Bu işlem logaritma b tabanında a çarpı c'ye eşittir. Bu kural sadece tabanlar aynıysa işe yarayacaktır. Bu önemli bir bilgi. Şimdi, bu ne demek ve bunu nasıl kullanabiliriz? Şimdi bu kuralı bazı örneklerle deneyelim. Mesela, logaritma 2 tabanında 8, artı logaritma 2 tabanında 32. Eğer bu kuralın işe yaradığını biliyorsak, bu işlemin sonucu, logaritma 2 tabanında ne olmalı? 8 çarpı 32 olmalı. Bu da 256 eder. Az önce, size göstermiş olduğum özelliği kullandık. Burada bir kuralın kanıtını yapmadık, sadece elimizdeki sayıları denedik. Şimde bakalım gerçekten doğru mu? log 2 tabanında 8. 2' nin kaçıncı kuvveti 8'e eşittir? 2 üzeri 3, 8'dir değil mi? O zaman bu terim 3'e eşittir, Log 2 tabanında 8, 3'e eşittir. 2'nin kaçıncı kuvveti 32'ye eşittir? Bakalım... 2'nin 4'üncü kuvveti 16. 2'nin 5'inci kuvveti 32'dir. Yani bu terim 5 değil mi? Peki 2'nin kaçıncı kuvveti 256'dır? Eğer bir bilgisayar mühendisliği okuyor olsaydınız, bunu anında cevaplardınız. Bir bit içerisinde 256 değer bulundurabilir. 256, 2'nin 8'inci kuvvetidir. Bu işlemi yapmayacağım; çünkü fark ettim ki 3 artı 5, zaten 8'e eşit. Bunu bağımsız olarak yapıyorum. Yani bu 8'e eşit. Fakat zaten görüyoruz ki 3 artı 5, 8'e eşit. Bazılarınız şu an biliyorum, bu gerçekten çok kolay, neden bu kadar abartıyorsunuz ki diyebilirsiniz. Büyük ihtimalle, 2'nin 3'üncü kuvveti çarpı, 2'nin 5'inci kuvveti, 2 üzeri 3 artı 5'e eşitti diye düşündünüz, değil mi? Bu aslında bir üslü sayılar kurallarından biri, bildiğiniz gibi üslü sayılarda çarpma yaparken, tabanlar aynıysa üsler toplanır. Burası da 2 üzeri 8'e eşittir. Bu yaptığımız şeyin aynısı, değil mi? Bu tarafta, 2 üssü 3, çarpı 2 üssü 5 var, bu tarafta da bunların toplamı. Logaritmalar karmaşık olsa da, biraz daha derinden incelediğinizde gerçekten ilgi çekici olabiliyorlar. Eğer biraz daha fazla açıklama istiyorsanız, logaritmalarla ilgili diğer videoları izlemenizi, şiddetle öneririm. Umarım bu yaptıklarımız size bu kuralla ilgili bir farkındalık kazandırmıştır. Aynı tabanlı iki sayıyı çarptığınızda, yani, aynı tabanlı iki üslü sayıyı çarptığınızda, onların kuvvetlerini toplarsınız. Benzer bir şekilde, herhangi iki logaritma çarpıldığında da, sonucumuz logaritma içindeki sayıların toplamlarına eşit olacaktır. Bu ikisi aynı kuraldan geliyor. Şimdi, bir logaritma kuralının daha üzerinden geçelim. Bu da oldukça benzer. log b tabanında a, eksi, log b tabanında c, log b tabanında, a bölü c'ye eşittir. Yine, bu kuralı sayılarla deneyelim. 2'yi çok fazla kullanıyorum, çünkü kuvvetlerinin bulunması açısından oldukça kolay bir sayı. Bu sefer farklı bir sayı kullanalım. Tamam 2'yi bırakalım. Diyelim ki; log 3 tabanında 1 bölü 9, eksi, log 3 tabanında 81. Bu özelliğe göre, bu ifade log 3 tabanında, 1 bölü dokuz, bölü 81'e eşittir. Bunu, 1 bölü 9 çarpı, 1 bölü 81 olarak yazacağım. Sanırım biraz büyük sayılar seçtim ama, neyse devam edelim. 9 çarpı 81, düşünelim, evet 729'a eşit. Yani bu, 1 bölü 729. Bu da log 3 tabanında 1 bölü 729. Peki, 3'ün kaçıcı kuvveti 1 bölü 9'a eşit? 3'ün karesi 9'dur, değil mi? O zaman, 3'ün kuvveti 2'yse, biliyoruz ki 3'ün eksi 2'nci kuvveti, 1 bölü 9'a eşit. Negatif kuvvet, terimi tersine çevirir. Yani bu, eksi 2'ye eşit, doğru mu? Ve sonra, 3'ün kaçıncı kuvveti 81'e eşit? 3 üzeri 3, 27'dir. O zaman 3 üzeri 4, 81'e eşit olmalı. Yani; eksi 2, eksi 4, eksi 6'ya eşittir. Şimdi kontrol etmemiz gereken şey, 3 üssü eksi 6'nın, 1 bölü 729'a eşit olduğu. 3'ün eksi6'ncı kuvveti, 1 bölü 729'a eşit midir? Bu 3 üssü 6'nın, 729 olup olmadığını sormakla aynı şey; çünkü negatif sayı sonucu sadece tersine çeviriyor. Bunu çarparak bulabiliriz. -Bakalım. 3 üssü 3 çarpı, 3 üssü 3, 27 çarpı 27'ye eşittir. Evet ... eksi 729, 3'ün eksi 6'ncı kuvvetine eşitmiş. Evet, bu videoda bu kadar sürem vardı. Bir sonraki videoda, size logaritmaların birkaç özelliğinden daha bahsedeceğim. Zaman kalırsa da belki örnek de yapabiliriz. Görüşmek üzere.