Logaritmada Bölüm ve Kuvvet Kurallarının İspatı

Bakalım, logaritmaların başka özelliklerini bulabilecek miyiz? Diyelim ki, log x tabanında A eşittir B. Bu, x üzeri B eşittir A demekle aynı şey. Evet, Şimdi yeni bir şey deneyelim. Örneğin bu ifadeyi başka bir değişkenle çarpalım, ne dersiniz? Buna mesela C diyelim. Bu denklemin iki tarafını da C ile çarpacağım. Sonuçta, C çarpı, log x tabanında A, eşittir, B çarpı C'yi elde ederim. Tamam. Aslında şuan elimizde pek bir şey yok gibi. İlk yazdığımıza geri dönelim; soldaki ifadenin sağdakiyle aynı şey olduğunu söylemiştim. Hadi biraz düşünelim. Bu tarafın, bu tarafın, C kuvvetini alalım. Bu bir şapka işareti, harfleri uzatırken kullanırız. Ancak matematikte bu işareti, kuvvetleri göstermek için kullanırız: C kuvvetini aldığımda bu taraf, x’in B kuvvetinin C kuvveti oluyor. Bu da eşittir A’nın C kuvvetine. Yaptığım tek şey denklemin iki tarafının da C kuvvetini almak. Peki, üslü bir sayının kuvvetini alırsak ne olur? Bu bir üslü sayılar kuralıdır iki sayıyı çarparız. Bu sadece, x üzeri B, çarpı C, eşittir A üzeri C demektir. Peki, şimdi ne yapabiliriz? Bu ifadeyi logaritma olarak yazalım. Biliyoruz ki; x üzeri B, çarpı C, eşittir A üzeri C. Bu, logaritma x tabanında, A üssü C, eşittir, B, çarpı C demekle tamamen aynı şey, doğru mu? Çünkü yaptığım tek şey bunu logaritmik bir ifade olarak yazmaktı. Burada ilginç bir durumun ortaya çıktığını görebilirsiniz... Bu B çarpı C, buradaki B çarpı C ile aynı şey. Bu yüzden bu ifade buna eşit olmak zorunda. Bu da bizi logaritmanın başka bir özelliğine götürüyor. Logaritmanın önünde herhangi bir katsayı olursa yani logaritmayı bir sayıyla çarparsam, bu katsayıyı kuvvet olarak da yazabilirim. Örneğimizden gidecek olursak, C çarpı log x tabanında A, log x tabanında A’nın C kuvvetine eşittir. Yani bu katsayıyı alıp, logaritmanın içindeki terimin kuvveti şeklinde yazabilirsiniz. Şimdi logaritmayla ilgili yaptıklarımızı bir tekrar edelim. Son yaptığımız özellikle başlarsak, C çarpı log x tabanında A eşittir, log x tabanında A üzeri C. Yeni öğrendiğimiz diğer özelliğe göre de, log x tabanında A artı, log x tabanında B eşittir log x tabanında A çarpı B. Şimdi size bir soru sorayım. Buradaki toplama işaret yerine, çıkarma işaret koysaydık ne olurdu? Büyük ihtimalle bunu kendiniz de keşfedebilirsiniz ama yine de, beraber bulmaya çalışalım. Diyelim ki log x tabanında A eşittir L. Ve log x tabanında B, eşittir m. Bir de, log x tabanında A bölü B de n’ye eşit olsun. Bunların hepsini nasıl üslü sayı olarak yazabiliriz? Bu x’in L kuvvetinin, A'ya eşit olduğunu söyler. Bu da x’in m kuvveti, B’ye eşittir demek. O zaman x’in n kuvveti eşittir A bölü B olur. Peki, burada ne yapabiliriz? A bölü B'yi yazmanın bir başka yolu nedir? A yerine, x üzeri l ; ve, B yerinde de, x üzeri m koyarız. Bunu, üslü sayıların özelliklerinden de bildiğimiz gibi, x üzeri L çarpı x üzeri negatif m olarak yazabiliriz. Bu da, x üzeri L, eksi m demektir. Peki, ne biliyoruz? x üzeri n, eşittir, x üzeri, L eksi m’dir. Yani bu iki ifade birbirine eşit. Yeni kuralımıza git gide yaklaşıyoruz. O zaman n, L eksi m’ye eşittir. N yerine başka bir ifade yazabilir miyim? Buraya bakarsak göreceğiz ki logaritma x tabanında, A bölü B, n’ye eşittir. N de, L eksi m’ye eşitti, L için yazabileceğimiz diğer ifade de burada. Log x tabanında A. eşittir L, yani Log x tabanında, A eksi m, yani log x tabanında B. Bunu kendiniz de bulabilirdiniz fakat bu özelliği kanıtlamamız, mantığı kavramanıza yardımcı olmuştur diye düşünüyorum. Bu videoda zamanın kaldığını sanmıyorum. Bu yüzden, diğer bir özelliğe de, diğer bir logaritma özelliğine de, önümüzdeki videoda değineceğim. Hoşçakalın.