Üstel Model Sözel Soru: İlaçların Kana Geçmesi

Cemal, doktorun verdiği ilacın ilk dozunu, ilk dozunu almış. İlk dozu aldıktan sonra geçen zamanı saat cinsinden gösteren t ile kanındaki ilaç oranını miligram cinsinden gösteren M(t) arasındaki ilişki aşağıdaki fonksiyon ile modellenmiştir. Peki. Cemal’in kanında ilaçtan 1 miligram kalması,1 miligram kalması için geçen süre kaç saattir? Çözmemiz gereken denklem, t’nin hangi değeri için, hatta şöyle yazayım. Kısaca, M(t)’nin 1’e eşit olmasını sağlayan t değerini bulmamız gerekiyor. M fonksiyonuna t değerlerini verdiğimizde, fonksiyonun bize verdiği değer miligram cinsinden olur. Bakalım. M, üstel bir fonksiyon. M çarpı e üzeri eksi sıfır virgül 8 t eşittir 1. İki tarafı da 20’ye bölersek, e üzeri eksi sıfır virgül 8t eşittir 1 bölü 20. Ama burada ondalık sayılarla işlem yapmamız gerekeceği için, 1 bölü 20 yerine doğrudan sıfır virgül sıfır 5 yazalım. Peki, bunu nasıl çözeceğiz ? Doğal logaritma e tabanındaki logaritma olduğu için, iki tarafında doğal logaritmasını alabileceğimizi düşünüyorum. Şunu bir daha yazayım, bir daha yazacağım. Sıfır virgül sıfır 5 değil mi ? Evet, iki tarafında doğal logaritmasını alacağız. Ln ve ln. Eşitliğin sol tarafı, e üzeri eski sıfır virgül 8, e üzeri eksi sıfır virgül 8t elde edebilmek için, e’nin kuvveti ne olmalıdır anlamına geliyor. Ve bu sorunun cevabı da, tabii ki, eksi sıfır virgül 8t’dir! Hemen yazıyorum. Sol taraf, eksi sıfır virgül 8t’ye sadeleşti. Biraz daha açık olması için size şunu da göstereyim. Ln e üzeri eksi sıfır virgül 8t aslında, e tabanında, log e üzeri eksi sıfır virgül 8t’ye eşittir. Peki, e üzeri eksi sıfır virgül 8t elde edebilmek için e’nin kuvveti ne olmalıdır? Eksi sıfır virgül 8t! Eşitliğin sağ tarafını ise olduğu gibi bırakalım. Sıfır virgül sıfır 5’in doğal logaritması. T’nin ne olduğunu bulmak için, eşitliğin iki tarafını da eksi sıfır virgül 8’e bölelim. Bölü eksi sıfır virgül 8, Bölü eksi sıfır virgül 8 Sol tarafta t, sağ tarafta da bu kalacak. Evet, sonucu bulmak için hesap makinesi kullanabiliriz, değil mi ? Temizleyelim. Sıfır virgül sıfır 5’in doğal logaritmasını almak için şu tuşa basıyoruz. Elde ettiğimiz sonucu bir de eksi sıfır virgül 8’e böleceğiz. Bölü eksi sıfır virgül 8. Soru ne demişti ? En yakın yüzde birliğe yuvarlamamız gerektiğini söylediğinden sonuç, 3 virgül 74 olacak. Evet, başlangıç miktarı 20 miligram olan ilacın, 1 miligram kalması için, 3 virgül 74 saat geçmesi gerekiyormuş. Başlangıçta 20 miligram olduğunu t yerine sıfır koyarak hesapladığımı da ekleyeyim. Evet, Cemal’in vücudu ilacı kullandığı, tükettiği için, 3 virgül 74 saat sonra kanında sadece 1 miligram kalmış! Cemal'e geçmiş olsun.