Karmaşık sayıların ne olduğunu ve karmaşık sayıların gerçel ve imajiner kısımlarını öğrenin.
Gerçel sayı sisteminde, x2=1x^2=-1 denkleminin çözümü yoktur. Bu derste, bu denklemin çözümünün olduğu yeni bir sayı sistemi üstünde çalışacağız.
Bu yeni sayı sisteminin belkemiği, ii sayısıdır.
i=1\Large i=\sqrt{-1}
Bu imajiner birimin katlarını alarak, sonsuz sayıda çok yeni sayı yaratabiliriz. Örneğin, 3i3i, i5i\sqrt{5} ve 12i-12i, veya bb'nin sıfır haricinde bir gerçek sayı olduğu bibi formundaki sayıların tümü, yalın majiner sayılardır.
Gerçek sayıları bu yalın imajiner sayılara eklemek 2+7i2+7i ve 32i3-\sqrt{2}i gibi sayılar verir. Bunlar yalın imajiner sayılar olmamakla birlikte, gerçek sayı da değildir. Bu sayılar, karmaşık sayılar olarak sınıflandırılırlar.

Karmaşık sayıları tanımlama

Bir karmaşık sayı, a+bi\greenD{a}+\blueD{b}i şeklinde yazılabilen herhangi bir sayıdır, burada ii imajiner birimdir ve a\greenD{a} ve b\blueD{b} gerçek sayılardır.
Sayının gerçel\greenD{\text{gerçel}} kısmı veya a\greenD a, yalın imajiner sayıya eklenen gerçek sayıdır.
Sayının imajiner\blueD{\text{imajiner}} kısmı veya b\blueD b, yalın imajiner sayının gerçek sayı katsayısıdır.
Aşağıdaki tablo karmaşık sayılar için örnekler göstermektedir, bu sayıların gerçel ve imajiner kısımları belirtilmiştir. Bazı kişiler, sayı standart formda yazıldığında, gerçel ve imajiner kısımları belirlemeyi daha kolay bulurlar.
Karmaşık SayıStandart Form a+bi\greenD a+\blueD b iParçaların tanımı
7i27i-22+7i\greenD {-2}+\blueD 7iGerçel kısım 2\greenD{-2} ve imajiner kısım 7\blueD 7.
43i4-3i4+(3)i\greenD 4 + (\blueD{-3})iGerçel kısım 4\greenD{4} ve imajiner kısım 3\blueD{-3}
       9i~~~~~~~9i0+9i\greenD 0+\blueD9iGerçel kısım 0\greenD{0} ve imajiner kısım 9\blueD 9
    2~~~~-22+0i\greenD {-2}+\blueD0iGerçel kısım 2\greenD{-2} ve imajiner kısım 0\blueD 0

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Problem 1

Problem 2

Problem 3

Karmaşık sayıları sınıflandırma

Yukarıda karmaşık sayılara örnek olarak 9i9i ve 2-2'nin verildiğini fark etmiş olabilirsiniz, ancak bunlar sırasıyla yalın imajiner ve gerçel olarak sınıflandırılabilirler.
Buna daha yakından bakalım ve sayıların nasıl bir araya geldiğini anlamaya çaışalım.
9i9i bir yalın imajiner sayıdır. Bu sayıyı ayrıca 0+9i\greenD 0+\blueD9i olarak ifade edebiliriz. Buna göre, 9i9i bir yalın imajiner sayıdır ve bir karmaşık sayıdır! Aslında, her yalın imajiner sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır.
Benzer şekilde, 2-2 bir yalın imajiner sayıdır. 2-2'yi ayrıca 2+0i\greenD {-2}+\blueD0i olarak ifade edebiliriz. Buna göre, 2-2 bir yalın imajiner sayıdır ve bir karmaşık sayıdır! Aslında, her yalın imajiner sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır.
Genel olarak, sıfır haricindeki herhangi bir a+bia+bi karmaşık sayısı, aynı zamanda ...
  • ...eğer a=0a=0 ise yalın imajiner bir sayı.
  • ...eğer b=0b=0 ise gerçel bir sayı.
Aşağıdaki şemada gerçel, yalın imajiner ve karmaşık sayı setlerine ilişkin bilgi ve her tür için örnek sayılar verilmiştir.

Düşünme sorusu

Örnekler

Aşağıdaki tabloda bazı sayıları gerçek, yalın imajiner ve/veya karmaşık olarak sınıflandırdık.
Gerçel(b=0)\begin{aligned}&\text{Gerçel}\\&(b=0)\end{aligned}Yalın majinerI˙(a=0)\begin{aligned}&\text{Yalın İmajiner}\\&(a=0)\end{aligned}Karmaşık(a+bi)\begin{aligned}&\text{Karmaşık}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1,3i(0+(1,3)i)\begin{aligned}&-1,3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1,3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
Dikkat ederseniz, tabloda listelenmiş sayıların hepsi karmaşık sayılardır! Bu, genel olarak doğrudur!

Şimdi siz deneyin!

Problem 4

Problem 5

Problem 6

Bu sayılar neden önemli?

Peki biz neden karmaşık sayıları öğreniyoruz? İster inanın ister inanmayın, karmaşık sayılar pek çok alanda kullanılmaktadır; birkaç alanın ismini vermek gerekirse, örneğin elektrik mühendisliği ve kuantum mekaniği!
Tamamen matematiksel bir bakış açısıyla, karmaşık sayılara ilişkin harika olan şey, herhangi bir polinom denklemi çözmemizi sağlamalarıdır.
Örneğin, x22x+5=0x^2-2x+5=0 polinom denkleminin gerçel çözümü veya yalın imajiner çözümü yoktur. Bununla birlikte, iki karmaşık sayı çözümü vardır. Bunlar 1+2i1+2i ve 12i1-2i'dir.
Matematik alanındaki çalışmalarımıza devam ettikçe, bu sayılar ve nasıl kullanıldıkları hakkında daha fazla şey öğreneceğiz.
Yükleniyor