If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 2

Ders 2: Karmaşık Sayılar
Matematik
Cebir 2
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Karmaşık Sayılar

Google Classroom
Karmaşık sayıların ne olduğunu, ayrıca karmaşık sayıların gerçel (reel) ve sanal (imajiner) kısımlarını öğrenelim.
Gerçel sayı sisteminde, x, squared, equals, minus, 1 denkleminin çözümü yoktur. Bu derste, bu denklemin çözümünün olduğu yeni bir sayı sistemi üstünde çalışacağız.
Bu yeni sayı sisteminin belkemiği, i sayısıdır.
i, equals, square root of, minus, 1, end square root
Bu imajiner birimin katlarını alarak, sonsuz sayıda çok yeni sayı yaratabiliriz. Örneğin, 3, i, i, square root of, 5, end square root ve minus, 12, i, veya b'nin sıfır haricinde bir gerçek sayı olduğu b, i formundaki sayıların tümü, yalın majiner sayılardır.
Gerçek sayıları bu yalın imajiner sayılara eklemek 2, plus, 7, i ve 3, minus, square root of, 2, end square root, i gibi sayılar verir. Bunlar yalın imajiner sayılar olmamakla birlikte, gerçek sayı da değildir. Bu sayılar, karmaşık sayılar olarak sınıflandırılırlar.

Karmaşık sayıları tanımlama

Bir karmaşık sayı, start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i şeklinde yazılabilen herhangi bir sayıdır, burada i imajiner birimdir ve start color #1fab54, a, end color #1fab54 ve start color #11accd, b, end color #11accd gerçek sayılardır.
Sayının start color #1fab54, start text, g, e, r, ç, e, l, end text, end color #1fab54 kısmı veya start color #1fab54, a, end color #1fab54, yalın imajiner sayıya eklenen gerçek sayıdır.
Sayının start color #11accd, start text, i, m, a, j, i, n, e, r, end text, end color #11accd kısmı veya start color #11accd, b, end color #11accd, yalın imajiner sayının gerçek sayı katsayısıdır.
Aşağıdaki tablo karmaşık sayılar için örnekler göstermektedir, bu sayıların gerçel ve imajiner kısımları belirtilmiştir. Bazı kişiler, sayı standart formda yazıldığında, gerçel ve imajiner kısımları belirlemeyi daha kolay bulurlar.
Karmaşık SayıStandart Form start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, iParçaların tanımı
7, i, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, iGerçel kısım start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 ve imajiner kısım start color #11accd, 7, end color #11accd.
4, minus, 3, istart color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, iGerçel kısım start color #1fab54, 4, end color #1fab54 ve imajiner kısım start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
space, space, space, space, space, space, space, 9, istart color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, iGerçel kısım start color #1fab54, 0, end color #1fab54 ve imajiner kısım start color #11accd, 9, end color #11accd
space, space, space, space, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, iGerçel kısım start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 ve imajiner kısım start color #11accd, 0, end color #11accd

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Problem 1

13, comma, 2, i, plus, 1'in gerçel kısmı nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problem 2

21, minus, 14, i'nin imajiner kısmı nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problem 3

17, i'nin gerçel kısmı nedir?
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Karmaşık sayıları sınıflandırma

Yukarıda karmaşık sayılara örnek olarak 9, i ve minus, 2'nin verildiğini fark etmiş olabilirsiniz, ancak bunlar sırasıyla yalın imajiner ve gerçel olarak sınıflandırılabilirler.
Buna daha yakından bakalım ve sayıların nasıl bir araya geldiğini anlamaya çaışalım.
9, i bir yalın imajiner sayıdır. Bu sayıyı ayrıca start color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, i olarak ifade edebiliriz. Buna göre, 9, i bir yalın imajiner sayıdır ve bir karmaşık sayıdır! Aslında, her yalın imajiner sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır.
Benzer şekilde, minus, 2 bir yalın imajiner sayıdır. minus, 2'yi ayrıca start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, i olarak ifade edebiliriz. Buna göre, minus, 2 bir yalın imajiner sayıdır ve bir karmaşık sayıdır! Aslında, her yalın imajiner sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır.
Genel olarak, sıfır haricindeki herhangi bir a, plus, b, i karmaşık sayısı, aynı zamanda ...
  • ...eğer a, equals, 0 ise yalın imajiner bir sayı.
  • ...eğer b, equals, 0 ise gerçel bir sayı.
Aşağıdaki şemada gerçel, yalın imajiner ve karmaşık sayı setlerine ilişkin bilgi ve her tür için örnek sayılar verilmiştir.

Düşünme sorusu

Aşağıdaki ifade doğru mudur, yanlış mıdır?
Her karmaşık sayı, ya gerçel ya da yalın imajinerdir.
1 cevap seçin:

Örnekler

Aşağıdaki tabloda bazı sayıları gerçek, yalın imajiner ve/veya karmaşık olarak sınıflandırdık.
Gerçel(b=0)\begin{aligned}&\text{Gerçel}\\&(b=0)\end{aligned}Yalın I˙majiner(a=0)\begin{aligned}&\text{Yalın İmajiner}\\&(a=0)\end{aligned}Karmaşık(a+bi)\begin{aligned}&\text{Karmaşık}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
−1,3i(0+(−1,3)i)\begin{aligned}&-1,3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1,3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
Dikkat ederseniz, tabloda listelenmiş sayıların hepsi karmaşık sayılardır! Bu, genel olarak doğrudur!

Şimdi siz deneyin!

Problem 4

minus, 2, plus, 3, i ne tür bir sayıdır?
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Problem 5

10, comma, 2 ne tür bir sayıdır?
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Problem 6

minus, 17, i ne tür bir sayıdır?
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Bu sayılar neden önemli?

Peki biz neden karmaşık sayıları öğreniyoruz? İster inanın ister inanmayın, karmaşık sayılar pek çok alanda kullanılmaktadır; birkaç alanın ismini vermek gerekirse, örneğin elektrik mühendisliği ve kuantum mekaniği!
Tamamen matematiksel bir bakış açısıyla, karmaşık sayılara ilişkin harika olan şey, herhangi bir polinom denklemi çözmemizi sağlamalarıdır.
Örneğin, x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 polinom denkleminin gerçel çözümü veya yalın imajiner çözümü yoktur. Bununla birlikte, iki karmaşık sayı çözümü vardır. Bunlar 1, plus, 2, i ve 1, minus, 2, i'dir.
Matematik alanındaki çalışmalarımıza devam ettikçe, bu sayılar ve nasıl kullanıldıkları hakkında daha fazla şey öğreneceğiz.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.