Karmaşık düzlemin ne olduğunu ve bunun karmaşık sayıları temsil etmek için nasıl kullanıldığını öğrenin.
İmajiner birim veya ii, aşağıdaki denk özelliklere sahip olan sayıdır:
  • i2=1i^2=-1
  • 1=i\sqrt{-1}=i
Bir yalın imajiner sayı, ii'nin herhangi bir gerçek sayı katıdır, örneğin 3i3i veya i5i\sqrt 5 gibi.
Bir karmaşık sayı, a+bi\greenD{a}+\blueD{b}i şeklinde yazılabilen herhangi bir sayıdır, burada ii imajiner birimdir ve a\greenD{a} ve b\blueD{b} gerçek sayılardır.
  • Sayının gerçel\greenD{\text{gerçel}} kısmı veya a\greenD a, her zaman yalın imajiner sayıya eklenen gerçek sayıdır.
  • Sayının imajiner\blueD{\text{imajiner}} kısmı veya b\blueD b, daima yalın imajiner sayının gerçek sayı katsayısıdır.

Karmaşık düzlem

Gerçek sayılar kümesini görselleştirmek için sayı doğrusunu kullandığımız gibi, karmaşık sayılar kümesini görselleştirmek için de karmaşık düzlemi kullanabiliriz.
Karmaşık düzlem, (0,0)(0,0) noktasında dik açıyla kesişen iki sayı doğrusundan oluşur.
Yatay sayı doğrusu (Kartezyen düzleminde xx ekseni olarak bildiğimiz) gerçel eksendir.
Düşey sayı doğrusu (Kartezyen düzleminde yy ekseni olarak bildiğimiz) imajiner eksendir.

Bir karmaşık sayıyı işaretlemek

Her karmaşık sayı, karmaşık düzlemdeki bir noktayla temsil edilebilir.
Örneğin, 35i3-5i sayısını düşünün. Aynı zamanda 3+(5)i\greenD{3}+(\blueD{-5})i şeklinde de ifade edilen bu sayıda, gerçel kısım 3\greenD{3} ve imajiner kısım 5\blueD{-5}'tir.
Bu noktanın karmaşık düzlemdeki konumu, gerçel eksende 3\greenD{3} ile ve imajiner eksende 5\blueD{-5} ile eşleşen noktadır.
Buna göre, 3+(5)i\greenD{3}+(\blueD{-5})i sayısı (3,5)(\greenD{3}, \blueD{-5}) noktasıyla ilişkilidir. Genel olarak, a+bi\greenD a+\blueD bi karmaşık sayısı karmaşık düzlemde (a,b)(\greenD a,\blueD b) noktasıyla eşleşir.

Anlamış olduğunuzu kontrol edin

Problem 1

Problem 2

Problem 3

Problem 4

Problem 5

Gerçek sayı doğrusuyla bağlantılar

Pisagor'un zamanında, irrasyonel sayılar şaşırtıcı bir buluştu! Tam doğru bir ondalık sayı açılımı olmadan, 2\sqrt{2} gibi bir şeyin nasıl var olabileceğini merak ediyorlardı.
Gerçek sayı doğrusu, bu ikilemi aşmamızı sağlar. Neden? Çünkü gerçek sayı doğrusunda 2\sqrt{2} bir gerçek sayı olduğunu gösteren özel bir konuma sahiptir. (Eğer bir birim karenin köşegenini alır ve bir ucu 00'a yerleştirirseniz, diğer uç 2\sqrt{2} sayısıyla eşleşir.)
Benzer şekilde, her karmaşık sayı gerçekten vardır, çünkü karmaşık düzlemde tam olarak bir yerle eşleşir! Belki bu sayıları görselleştirmeyi başararak, bu sayılara ''imajiner'' denmesinin bir talihsizlik olduğunu anlayabiliriz.
Karmaşık sayılar vardır ve bunlar matematiğin önemli bir parçasıdır. Gerçel sayı doğrusu basitçe karmaşık düzlemdeki gerçel eksendir, ancak bu bir tek doğrunun ardında pek çok şey var!
Yükleniyor