İmajiner birim i'nin herhangi bir katını nasıl sadeleştireceğinizi öğrenin. Örneğin, i²⁷ 'yi -i olarak sadeleştirin.
i=1i=\sqrt{-1} ve i2=1i^2=-1 olduğunu biliyoruz.
Ancak ya i3i^3? i4i^4? ii'nin diğer tam sayı kuvvetleri? Bunları nasıl hesaplayabiliriz?

i3i^3 ve i4i^4'ü bulma

Üslerin özellikleri burada bize yardımcı olabilir! Aslında, ii'nin üslerini hesaplarken, üsler tam sayı olduğu sürece, gerçel sayı sisteminde doğru olduğunu bildiğimiz üslere ilişkin özellikleri uygulayabiliriz.
Bunu aklımızda tutarak, i3i^3 ve i4i^4'ü bulalım.
i3=i2ii^3=i^2\cdot i olduğunu biliyoruz. Ancak i2=1{i^2=-1} olduğundan, bunu görüyoruz:
i3=i2i=(1)i=i\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}
Benzer şekilde, i4=i2i2i^4=i^2\cdot i^2'dir. Gene i2=1{i^2=-1} olduğu gerçeğini kullanarak aşağıdakini elde ediyoruz:
i4=i2i2=(1)(1)=1\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

ii'nin başka kuvvetleri

Bunu devam ettirelim! Benzer bir yöntem kullanarak, ii'nin sonraki 44 kuvvetini bulalım.
i5=i4i     U¨slerin zelliklerio¨=1iÇnk u¨u¨i4=1=i\begin{aligned} \Large i^5 &= {i^4\cdot i}~~~~~&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=1\cdot i&&\small{\gray{\text{Çünkü $i^4=1$}}}\\ \\ &= \blueD i \end{aligned}
i6=i4i2U¨slerin zelliklerio¨=1(1)Since  and i4=1i2=1=1\begin{aligned}\Large i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=1\cdot (-1)&&\small{\gray{\text{Since $i^4=1$ and $i^2=-1$}}}\\ \\ &=\greenD{-1} \end{aligned}
i7=i4i3U¨slerin zelliklerio¨=1(i)Çnk  ve u¨u¨i4=1i3=i=i\begin{aligned}\Large i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=1\cdot (-i)&&\small{\gray{\text{Çünkü $i^4=1$ ve $i^3=-i$}}}\\ \\ &=\purpleD{-i} \end{aligned}
i8=i4i4    U¨slerin zelliklerio¨=11Çnk  u¨u¨i4=1=1\begin{aligned}\Large i^8 &= {i^4\cdot i^4~~~~}&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=1\cdot 1&&\small{\gray{\text{Çünkü $i^4=1$ }}}\\ \\ &=\goldD 1 \end{aligned}
Sonuçlar tabloda özetlenmiştir.
i1i^1i2i^2i3i^3i4i^4i5i^5i6i^6i7i^7i8i^8
i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1

Ortaya çıkan örüntü

Tabloya göre, ii'nin kuvvetleri i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i} ve 1\goldD1 dizisiyle değişmektedir.
Bu örüntüyü kullanarak, i20i^{20} olduğunu bulabilir miyiz? Bunu deneyelim!
Aşağıdaki liste, yineleyen dizideki ilk 2020 sayıyı göstermektedir.
\quadi\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1
Bu mantığa göre, i20i^{20} 1\goldD 1'e eşit olmalıdır. Bunu üsleri kullanarak destekleyebilir miyiz görelim. Hatırlayın, burada üslerin özelliklerini aynı gerçek sayılarla yaptığımız gibi kullanabiliriz!
i20=(i4)5U¨slerin zelliklerio¨=(1)5i4=1=1Sadeleştirin\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &= (1)^5 &&\small{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&\small{\gray{\text{Sadeleştirin}}}\end{aligned}
Her şekilde, i20=1i^{20}=1 olduğunu görüyoruz.

ii'nin daha büyük kuvvetleri

i138i^{138}'i bulmak istediğimizi varsayın. i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1,... dizisini 138138. terime kadar kullanabilirdik, ancak bu çok fazla zaman alırdı!
Dikkat ederseniz, bununla birlikte, i4=1i^4=1, i8=1i^8=1, i12=1i^{12}=1, vb., veya başka şekilde ifade edersek, ii'nin 44'ün bir katına yükseltilmesi 11'dir.
i138i^{138}'i sadeleştirmemize yardımcı olması için, bu bilgiyi ve üslerin özelliklerini kullanabiliriz.

Örnek

i138i^{138}'i sadeleştirin.

Çözüm

138138 44'ün bir katı değildir, ancak 136136 öyledir! i138i^{138}'i sadeleştirmemiz yardımcı olması için, bunu kullanalım.
i138=i136i2U¨slerin zelliklerio¨=(i434)i2136=434=(i4)34i2U¨slerin zelliklerio¨=(1)34i2i4=1=11i2=1=1\begin{aligned} i^{138} &=i^{136}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&\small{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -1&&\small{\gray{\text{$i^2=-1$}}}\\\\ &=-1 \end{aligned}
Buna göre, i138=1i^{138}=-1.
Şimdi, neden i138i^{138} as i136i2i^{136}\cdot i^2 yazmayı seçtiğimizi sorabilirsiniz.
Eğer orijinal üs 44'ün bir katı değilse, bu durumda 44'ün bundan küçük ve buna en yakın kuvvetini bulmak, sadece i4=1i^4=1 olduğu gerçeğini kullanarak üssü ii, i2i^2 veya i3i^3'e sadeleştirmemizi sağlar.
Orijinal üssü 44 ile bölerseniz, bu sayıyı bulmak kolaydır. Bu sadece bölüm (kalansız) çarpı 44'tür.

Şimdi birkaç soruyla alıştırma yapalım

Problem 1

Problem 2

Problem 3

Zor Problem

Yükleniyor