Ana içerik

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 2

Ders 1: Sanal Sayılar

Sanal Birim i Sayısının Kuvvetleri

Sanal birim olarak adlandırdığımız i'nin herhangi bir kuvvetini nasıl sadeleştirebileceğimizi öğrenelim. Örneğin, i²⁷ 'yi -i olarak sadeleştirebiliriz.

i, equals, square root of, minus, 1, end square root ve i, squared, equals, minus, 1 olduğunu biliyoruz.

Ancak ya i, cubed? i, start superscript, 4, end superscript? i'nin diğer tam sayı kuvvetleri? Bunları nasıl hesaplayabiliriz?

i, cubed ve i, start superscript, 4, end superscript'ü bulma

Üslerin özellikleri burada bize yardımcı olabilir! Aslında, i'nin üslerini hesaplarken, üsler tam sayı olduğu sürece, gerçel sayı sisteminde doğru olduğunu bildiğimiz üslere ilişkin özellikleri uygulayabiliriz.

Bunu aklımızda tutarak, i, cubed ve i, start superscript, 4, end superscript'ü bulalım.

i, cubed, equals, i, squared, dot, i olduğunu biliyoruz. Ancak i, squared, equals, minus, 1 olduğundan, bunu görüyoruz:

$\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}$

Benzer şekilde, i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared'dir. Gene i, squared, equals, minus, 1 olduğu gerçeğini kullanarak aşağıdakini elde ediyoruz:

$\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}$

i'nin başka kuvvetleri

Bunu devam ettirelim! Benzer bir yöntem kullanarak, i'nin sonraki 4 kuvvetini bulalım.

$\begin{aligned} \Large i^5 &= {i^4\cdot i}~~~~~&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=1\cdot i&&\small{\gray{\text{Çünkü $i^4=1$}}}\\ \\ &= \blueD i \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=1\cdot (-1)&&\small{\gray{\text{Since $i^4=1$ and $i^2=-1$}}}\\ \\ &=\greenD{-1} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=1\cdot (-i)&&\small{\gray{\text{Çünkü $i^4=1$ ve $i^3=-i$}}}\\ \\ &=\purpleD{-i} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^8 &= {i^4\cdot i^4~~~~}&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &=1\cdot 1&&\small{\gray{\text{Çünkü $i^4=1$ }}}\\ \\ &=\goldD 1 \end{aligned}$

Sonuçlar tabloda özetlenmiştir.

i, start superscript, 1, end superscript	i, squared	i, cubed	i, start superscript, 4, end superscript	i, start superscript, 5, end superscript	i, start superscript, 6, end superscript	i, start superscript, 7, end superscript	i, start superscript, 8, end superscript
start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10	start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10

Ortaya çıkan örüntü

Tabloya göre, i'nin kuvvetleri start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab ve start color #e07d10, 1, end color #e07d10 dizisiyle değişmektedir.

Bu örüntüyü kullanarak, i, start superscript, 20, end superscript olduğunu bulabilir miyiz? Bunu deneyelim!

Aşağıdaki liste, yineleyen dizideki ilk 20 sayıyı göstermektedir.

\quad

start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10

Bu mantığa göre, i, start superscript, 20, end superscript start color #e07d10, 1, end color #e07d10'e eşit olmalıdır. Bunu üsleri kullanarak destekleyebilir miyiz görelim. Hatırlayın, burada üslerin özelliklerini aynı gerçek sayılarla yaptığımız gibi kullanabiliriz!

$\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\ \\ &= (1)^5 &&\small{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&\small{\gray{\text{Sadeleştirin}}}\end{aligned}$

Her şekilde, i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1 olduğunu görüyoruz.

i'nin daha büyük kuvvetleri

i, start superscript, 138, end superscript'i bulmak istediğimizi varsayın. start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... dizisini 138. terime kadar kullanabilirdik, ancak bu çok fazla zaman alırdı!

Dikkat ederseniz, bununla birlikte, i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1, vb., veya başka şekilde ifade edersek, i'nin 4'ün bir katına yükseltilmesi 1'dir.

i, start superscript, 138, end superscript'i sadeleştirmemize yardımcı olması için, bu bilgiyi ve üslerin özelliklerini kullanabiliriz.

Örnek

i, start superscript, 138, end superscript'i sadeleştirin.

Çözüm

138 4'ün bir katı değildir, ancak 136 öyledir! i, start superscript, 138, end superscript'i sadeleştirmemiz yardımcı olması için, bunu kullanalım.

$\begin{aligned} i^{138} &=i^{136}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}}\\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&\small{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&\small{\gray{\text{Üslerin özellikleri}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -1&&\small{\gray{\text{$i^2=-1$}}}\\\\ &=-1 \end{aligned}$

Buna göre, i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1.

Şimdi, neden i, start superscript, 138, end superscript as i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared yazmayı seçtiğimizi sorabilirsiniz.

Eğer orijinal üs 4'ün bir katı değilse, bu durumda 4'ün bundan küçük ve buna en yakın kuvvetini bulmak, sadece i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1 olduğu gerçeğini kullanarak üssü i, i, squared veya i, cubed'e sadeleştirmemizi sağlar.