Güncel saat:0:00Toplam süre:6:44
1 enerji puanı
Bir sınava mı hazırlanıyorsunuz? Karmaşık Sayılar dersiyle hazırlanın.
Dersi görün

Bir Temel Kök Olarak i Sayısı

Video açıklaması
Matematik derslerinde ya da matematik çalışırken büyük ihtimalle size eksi 1'in karekökünün i'ye eşit demenin yanlış olduğunu söyleyen insanlarla karşılaşabilirsiniz. Onlara bunun neden yanlış olduğunu sorarsanız size aslında oldukça mantıklı duyulan şu görüşü sunarlar. Size diyecekler ki Tamam, hadi eksi 1 ile başlayalım. Ve tanımdan bildiğimiz üzere eksi 1 i çarpı i'ye eşit. Buraya kadar her şey tamam. Sonra da şöyle devam ederler. Eğer burada ki ifadeyi göz önünde bulundurursan buradaki i'lerin hepsini eksi 1 ile değiştirebiliriz. Ve bu da doğru. Yani bu şey, karekök eksi 1 çarpı karekök eksi 1 ile aynı olacak. Ve sonra da diyecekler ki, karekök fonksiyonların temel özelliklerine göre. karekök içinde a çarpı b, eşittir karekök için a çarpı, karekök b. Aynı şekilde tabi karekök a çarpı karekök içinde b de karekök içinde a çarpı b'ye eşittir. Şimdi bu özellikten yola çıkarak söyleyebiliriz ki, buradaki ifade, eksi 1 çarpı eksi 1'in kareköküyle aynı şey. Eğer bu iki terimin çarpımının karekökünü alırsam, bu şuradaki köklü ifadenin çarpımıyla aynı şey demektir. Yani buradaki kuralı tersten uyguluyorum. Burada çarpımın karekökünü alıyorum, ki bu ifade burada sağ tarafta. Bilindiği üzere eksi 1 çarpı eksi 1, 1'dir. Yani bu ifade 1'in karekökü olarak da yazılabilir. Ve 1'in karekökü de temel kurallardan da bilindiği gibi, 1'e eşit olur. Bazılarının bu eşitliğin yanlış olduğunu söylemelerinin sebebi bu: eksi 1, 1 'e eşit olamaz ve bundan dolayı burada yaptığımız yerine koyma işlemini yapamayız. Bunun üzerine sizin görmeniz ya da cevap vermeniz gereken nokta ise, buradaki hatalı adımın "yerine koyma işlemi" olmadığı. Evet, eksi 1'in 1'e eşit olmadığı doğru, ama hatalı adım bu değil. Buradaki hatalı adım, a ve b'nin negatif olduğu durumlarda bu ifadeyi kullanmak. a ve b'nin negatif olduğu durumlarda bu kural geçerliliğini yitirir. Yani bu özellik verildiğinde, a ve b aynı anda negatif olamaz. Size bu özellik verildiğinde genellikle yanına bazı küçük notlar eklenir. Konuyu ilk öğrenişinizde bu notlar size önemsiz gibi gelebilir ama bu kuralın yanında genellikle a ve b büyük eşittir 0 gibi ifadeler vardır. Bu durumda a ve b'nin verilen değerleri için kural doğru olur. Ama a ve b 0'dan küçük ise bu kuralı kullanmak yanlıştır. Videonun başında size i eşittir karekök eksi 1 eşitliğinin yanlış olduğunu söyleyenlerin nerede yanıldığını gösterdim. Bunu söylerken tabi bir yandan da karekök alırken biraz da dikkatli olmanız gerektiğini eklemek, hatırlatmak istiyorum. Mesela karekök 4 kökün içinden artı 2 olarak çıkar ama bildiğiniz gibi 4'ün bir diğer kökü de eksi 2'dir. Eksi 2 de 4'ün köküdür. 4'ü eksi 2 çarpı eksi 2 olarak da yazabilirsiniz ama buradaki karekök sembolü temel karekök anlamına gelir. Yani sadece reel sayılarla uğraştığımız anlamına gelir, sanal veya karmaşık sayılarla değil. Diğer bir deyişle pozitif kökü kullanıyoruz da denebilir. 4'ün 2 tane kökü vardır. 2 ve eksi 2; ama burada temel karekök işaretini gördüğünüz için 4'ün temel karekökü 2'dir. Yani negatif sayıların karekökünü almak istediğinizde veya karmaşık ve sanal sayılarla uğraştığınızda yapmanız gereken şey buradaki ifadenin tanımını genişletmek. Eğer bir negatif sayının karekökünü alıyorsanız aklınızda tutmanız gereken şey şu bu sembol artık temel karekök alma fonksiyonunu temsil etmiyor, temel karmaşık karekök alma işlemini temsil ediyor. Bu durumda bu işlem karmaşık girdiler veya karmaşık tanım kümelerini bulma işlevini görüyor. Aynı şekilde bu işlemden sanal veya karmaşık çıktılar da elde ediliyor tabi ki ve bu çıktıları görüntü kümesi olarak da adlandırabilirsiniz hatırlıyorsanız. Bu söylediklerimden yola çıkarak, eksi x'in karekökünü alırsak, sonuç i çarpı karekök içinde x olur. Konuyu netleştireyim çünkü az önce size a ve b negatif ise bu kuralı kullanmanın yanlış olduğunu söyledim değil mi. Bu ifade sadece x büyük eşittir sıfır olduğunda doğru olur. Yani x büyük eşit 0 olduğunda x negatif bir sayı veya 0 olur ve bu yüzden de bu kuralı uygulayabiliriz. Eğer x 0'dan küçük olursa, buradaki kural geçersiz olur ve yanlış bir eşitlik kurmuş oluruz. Bu açıdan bakınca diyebilirsiniz ki şimdi i eksi 1'in karekökü ve bu sembol de temel karmaşık karekök almanın sembolüyse bu ifadeyi karekök içerisinde eksi 1 çarpı karekök içerisinde x olarak da yazabiliriz. Bu mantığı savunan insanların i, karekök içerisinde eksi 1'e eşit olamaz demelerindeki temel yanlışlık bu özelliğin a ve b'nin ikisinin de negatif olduğu durumlarda kullanılması ve bu kullanımın sonucu da tartışmasız bir şekilde yanlış sonuçlar verir. Ama temel karekök almanın tanımını genişletir, negatif ve sanal sayıları da tanım kümesine eklerseniz bunu yapabilirsiniz. x'in karekökü eşittir x'in karekökü çarpı eksi 1'in karekökü. Ya da eksi x'in temel karekökü, burada kelimelerin seçimi önemli eksi 1'in karekökü çarpı karekök x'e eşittir. Bu durum x büyük eşittir 0 olduğunda geçerlidir. Neyse kafanızı karıştırmak istemiyorum, bunun pozitif olmayan bir sayı olduğu açık yani negatif bir sayı.