Güncel saat:0:00Toplam süre:5:20
1 enerji puanı
Studying for a test? Prepare with these 5 lessons on Karmaşık Sayılar.
See 5 lessons
Video açıklaması
Bu videoda, size sanal birim diye adlandırılan i sayısından bahsetmek istiyorum. Anlatacağım şeyler size zor gelebilir çünkü i sayısı matematikte gördüğümüz pi ya da e gibi diğer sayılardan daha tuhaf bir sayı ve bunun nedeni de diğer sayıların sahip olduğu somut değere sahip olmayışı. Kısaca i karesi eksi 1'e eşit olan sayıdır i'nin bu tanımı bir çok ilginç durumu ortaya çıkarır. Bazı durumlarda i'nin şu şekilde tanımlandığını görürsünüz. i eşittir kare kök içinde eksi 1. Size sadece bunun yanlış olmadığını göstermek istedim. Çünkü mantıken bir sayının karesi -1 ise o sayı -1'in kare köküne eşittir. Ne kadar bu iki önerme aynı gözükse de yine de dikkatli olmak gerekir, çünkü bunu yaptığımızda kimileri bizim hata yaptığımızı iddia edecektir. Ancak en sonunda onların hatalı olduğu görülecektir. Ama kök içine negatif bir sayıyı koyduğumuz zaman ne olacağına dikkat etmemiz gerekir, çünkü bu ileride öğreneceğimiz sanal karmaşık sayılar içinde tanımlanacaktır. Fakat şimdilik sizin anlamanız için, aslında bu iki tanımın benzer olduğunu kabul etmeliyiz. Bu tanımdan yola çıkarak i'nin diğer kuvvetlerinin değerlerini bulalım. Çünkü tahmin edebileceğiniz gibi eğer bir sayının karesi -1 ise, farklı üsleri bize farklı şeyler verecektir. Bu değerler, ki belirli bir düzeni takip ederek, tüm üsler için belirli bir döngü izlerler. Evet o zaman i'nin 0.kuvveti ile başlayalım Dersiniz ki, herhangi bir şeyin 0. kuvveti 1'dir, yani i'nin de 0. kuvveti 1'dir. Hatta bu çıkarımı sadece tanımdan bile yapabilirsiniz, basit bir şekilde i de dahil olmak üzere her şeyin 0. kuvveti 1'dir. bu sefer, "Peki i'nin 1'inci kuvveti nedir?" diye soracaksınız Herhangi bir sayının 1'inci kuvveti sayının kendisine eşittir. Yani cevap i'dir. Bir sayının üssünü almaya dair kuralları takip ettiğimiz sürece bu tamamen mantıklı olacaktır. Şimdi de i'nin 2'inci kuvveti? i'nin ikinci kuvvetine baktığımızda, tanımı gereği -1'e eşit olduğunu görürüz. Peki i'nin 3'üncü kuvveti? i'nin 3'üncü kuvveti, i çarpı, i'nin ikinci kuvveti olacaktır i'nin ikinci kuvvetinin eksi 1 olduğunu biliyoruz Yani eksi 1 çarpı i. Açıklamak gerekirse, bu durum i'nin karesinin -1'e eşit olmasıyla aynı durum. Hadi çarpalım. Eksi 1 çarpı i, eksi i'dir. Bir de i'nin dördüncü kuvvetini aldığımızda cevabın ne olacağına bakalım. Evet, işte i'nin 4'üncü kuvveti. Bu da i çarpı i'nin 3'üncü kuvveti olarak yazılabilir. i çarpı i'nin 3'üncü kuvveti. Peki i'nin üçüncü kuvveti nedir? i'nin üçüncü kuvveti eksi i'dir. Evet, bu -i. Eğer i çarpı i -1'e eşitse buradaki eksiyi de göz ardı etmeden, eğer i çarpı i "-1" ise, ve buradaki gibi eksi de varsa, cevap 1 olacaktır. Söylediklerimi yazayım: Bu durum eğer i ile -i yi çarpıyorsak, -1 ile çarpmak ile aynı şeydir. Çünkü çarpmanın dağılma koşulunu düşünersek işlemde sayıların yerini istediğiniz gibi değiştirebilirsiniz. Yani eksi 1 çarpı i çarpı i bu işlemle aynı şey. Tanıma göre i çarpı i eksi 1'dir. Eksi 1 çarpı eksi 1 de artı 1'e eşittir. i'nin 4'üncü kuvveti i'nin 0'ıncı kuvveti ile aynıdır. Bir de i'nin 5'inci kuvvetine bakalım. i'nin beşinci 5'inci kuvveti. Bu da i'nin 4'üncü kuvveti çarpı i'dir. i'nin 4'üncü kuvvetinin 1 olduğunu biliyoruz. 1 çarpı i de i'dir. yani bu 1 kere i veya sadece i'dir. Yani elimizde yine i'nin 1. kuvveti ile aynı şey var. Bu durumun devam edip etmediğini kontrol edelim. i'nin 7. kuvvetini deneyelim Pardon, 6. kuvveti olacaktı. Bunu i çarpı i'nin 5'inci kuvveti olarak yazabiliriz. i'nin 5'nci kuvvetinin i olduğunu biliyoruz, i çarpı i de tanım gereği -1'e eşittir. Bitirirsek, evet böyle sürekli gidebiliriz. i'nin daha da büyük kuvvetlerini alabiliriz fakat ne olursa olsun aynı döngü devam edecektir. Bir sonraki videoda size i'nin daha büyük üslerini almayı, ve bunun sonucunda ne çıkacağını tahmin etmeyi öğreteceğim. Fakat önce bu döngünün doğruluğunu kanıtlamalıyız. i'nin 7'nci kuvveti eşittir i çarpı i'nin 6'ncı kuvvetine eşittir. i'nin 6'ncı kuvveti eksi 1'dir. i çarpı eksi 1 eksi i'dir. i'nin 8'inci kuvvetini alırsanız, cevap tekrardan 1 olacaktır. i'nin 9. kuvveti yine i olacaktır ve döngü böyle devam edecektir.