Yeni bir fonksiyon yaratmak için iki fonksiyonu toplayabileceğimiz, çıkarabileceğimiz, çarpabileceğimiz veya bölebileceğimiz fikriyle tanışın.
Sayıları toplayabilir, çıkarabilir, çarpabilir ve bölebiliriz; buna benzer şekilde, fonksiyonları da toplayabilir, çıkarabilir, çarpabilir ve bölebiliriz.

İki fonksiyonun toplamı

1. Kısım: İki fonksiyonu toplayarak yeni bir fonksiyon oluşturma

Şimdi yeni bir fonksiyon oluşturmak için f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 ile g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x'i toplayalım.
Bu yeni fonksiyona h diyelim. Böylece:
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 1

2. Kısım: Bileşik bir fonksiyonun değerini bulma

Belirli girdiler için, bileşke fonksiyonların da değerini hesaplayabiliriz. x, equals, 2 için yukarıdaki h fonksiyonunu hesaplayalım. Bunu yapmanın iki yolu aşağıda bulunuyor.
1. Yöntem: x, equals, 2'yi h bileşik fonksiyonunda yerine koyun.
h(x)=3x+1h(2)=3(2)+1=7\begin{aligned}h(x)&=3x+1\\\\ h(2)&=3(2)+1\\\\ &=\greenD{7} \end{aligned}
2. Yöntem: f, left parenthesis, 2, right parenthesis ve g, left parenthesis, 2, right parenthesis'yi bulun ve sonuçları toplayın.
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis olduğundan, h, left parenthesis, 2, right parenthesis'yi f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis olarak da bulabiliriz.
İlk olarak, f, left parenthesis, 2, right parenthesis'yi bulalım:
f(x)=x+1f(2)=2+1=3\begin{aligned}f(x)&= {x + 1}\\\\ f(2)&=2+1 \\\\ &=3\end{aligned}
Şimdi g, left parenthesis, 2, right parenthesis'yi bulalım:
g(x)=2xg(2)=22=4\begin{aligned}g(x)&={2x}\\\\ g(2)&=2\cdot 2 \\\\ &=4\end{aligned}
Buna göre, f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, plus, 4, equals, start color greenD, 7, end color greenD'dir.
Dikkat ederseniz, doğrudan x, equals, 2'yi h fonksiyonuna koymak ve f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis'yi bulmak bize aynı cevabı vermiştir!

Şimdi bazı alıştırma problemlerini deneyelim.

1 ve 2. problemlerde, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2 ve g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 3 olsun.

Problem 1

f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis'i bulunuz.

Problem 2

f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis'in değerini bulunuz.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tamsayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir karma sayı
  • ondalık sayı, 0, point, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, p, i veya 2, slash, 3, space, p, i

Burada cevabı bulmak için birkaç bir yol bulabilirsiniz.
1. Yöntem: f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis ve g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis'i ayrı ayrı bulun. Sonra ikisini toplayın.
Önce, f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis'i bulalım:
f(x)=3x+2f(1)=3(1)+2=1\begin{aligned} f(x) &=3x+2\\\\ f(-1)&= 3(-1)+2\\\\ &= -1\end{aligned}
Ardından, g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis'i bulalım:
g(x)=x3g(1)=13=4\begin{aligned} g(x) &=x-3\\\\ g(-1)&= -1-3\\\\ &= -4\end{aligned}
Buna göre, f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, 1, plus, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, start color greenD, minus, 5, end color greenD
2. Yöntem: Önce f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis'i bulun, ve sonra bu ifadenin x, equals, minus, 1 için değerini bulun.
x, equals, minus, 1 olduğunda, bu ifade 4, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, minus, 1 veya start color greenD, minus, 5, end color greenD'e eşit olur.

Grafiksel bir bağlantı

İki fonksiyonu toplamanın anlamını, fonksiyonların grafiklerine bakarak da anlayabiliriz.
y, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis ve y, equals, n, left parenthesis, x, right parenthesis'in grafiği aşağıda gösterilmiştir. Birinci grafikte, m, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 2 olduğuna dikkat edin. İkinci grafikte n, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 5 olduğuna dikkat edin.
p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis olsun. Şimdi y, equals, p, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğine bakın. p, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color blueD, 2, end color blueD, plus, start color maroonD, 5, end color maroonD, equals, start color purpleD, 7, end color purpleD olduğuna dikkat edin.
Üç grafiğe bakarak, her x değeri için p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis olduğunu görün.

Alıştırma yapalım.

Problem 3

y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis ve y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis'İn grafikleri aşağıda gösterilmiştir.
f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 3, right parenthesis'ün en iyi kestirimi hangisidir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

f, left parenthesis, 3, right parenthesis ve g, left parenthesis, 3, right parenthesis'ü bulmak için y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis ve y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis grafiklerini kullanabiliriz.
Aşağıdaki grafik f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 6 gösterir.
Aşağıdaki grafik g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 3 gösterir.
Buna göre, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 6, plus, 3, equals, 9'dur.

Fonksiyonları birleştirmenin başka yolları

Şimdiye kadar baktığımız örneklerin tümü iki fonksiyonu toplayarak yeni bir fonksiyon oluşturuyordu, ancak yeni fonksiyonlar oluşturmak için ayrıca iki fonksiyonu çıkarabilir, çarpabilir ve bölebilirsiniz!
Örneğin, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 3 ve g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 2 ise, sadece toplamı değil, şunu da bulabiliriz...
... fark.
... çarpım.
... bölüm.
f(x)÷g(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x2)                     Yerine koyun.\begin{aligned}f(x)\div g(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\\\ &=\dfrac{(x+3)}{(x-2)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Yerine koyun.}}} \end{aligned}
Bunu yaparken, üç yeni fonksiyon oluşturmuş olduk!

Zor soru

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, plus, 2
q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 1
r, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t
p, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, q, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, r, left parenthesis, 3, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, 3, right parenthesis'ün değerini bulunuz.
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tamsayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir karma sayı
  • ondalık sayı, 0, point, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, p, i veya 2, slash, 3, space, p, i

İlk olarak formüllerin her birine t, equals, 3'ü koyarak p, left parenthesis, 3, right parenthesis, q, left parenthesis, 3, right parenthesis ve r, left parenthesis, 3, right parenthesis değerini bulalım.
İlk olarak, p, left parenthesis, 3, right parenthesis'ü bulalım:
p(t)=t+2p(3)=3+2=5\begin{aligned}p(t) &=t+2\\\\ p(3)&= 3+2\\\\ &=\blueD5\end{aligned}
Ardından, q, left parenthesis, 3, right parenthesis'ü bulalım:
q(t)=t1q(3)=31=2\begin{aligned} q(t) &=t-1\\\\ q(3)&= 3-1\\\\ &=\purpleC2\end{aligned}
Son olarak, r, left parenthesis, 3, right parenthesis'ü bulalım:
r(t)=tr(3)=3=3\begin{aligned} r(t) &=t\\\\ r(3)&= 3\\\\ &=\goldD3\end{aligned}
Şimdi p, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, q, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, r, left parenthesis, 3, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, 3, right parenthesis aşağıdaki gibi bulabiliriz:
p(3)q(3)r(3)p(3)=5235=305=25\begin{aligned} p(3) \cdot q(3) \cdot r(3) - p(3)&= \blueD5\cdot \purpleC2\cdot \goldD3-\blueD5 \\\\ &= 30-5 \\\\ &= 25 \end{aligned}
Önce p, left parenthesis, t, right parenthesis, dot, q, left parenthesis, t, right parenthesis, dot, r, left parenthesis, t, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, t, right parenthesis'yi ve sonra bu ifadenin t, equals, 3 olduğunda değerini bulabiliriz. Sonuç üçüncü dereceden bir polinom olacağı için, bu daha karmaşık olurdu!