If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:7:35

Video açıklaması

f x fonksiyonumuz, x eksi 1 in karesi, eksi 2. Tanım Kümesi de, x küçük eşit 1 olarak sınırlanmış. Yani, bu gördüğünüz parabolün sol yarısı oluyor. Tanım Kümesi sınırlandığı için, U şeklinde tam bir parabol değil. Tabi bu durumun, fonksiyonun tersini bulmayı neden zorlaştırdığını daha sonra konuşacağız. Gelin, şimdi tersini burada bulmaya çalışalım. İlk olarak, y'yi f x e eşitleyerek başlayalım. f x in hemen soluna y eşittir yazabiliriz ya da y eşittir, x eksi 1 in karesi, eksi 2, güzel. Ayrıca ne idi? x, küçük eşit 1 idi. Şimdi elimizde, x cinsinden bir y fonksiyonu var. Ters fonksiyonu bulmak için y cinsinden x fonksiyonunu bulmalıyız. Ayrıca, y'yi de uygun şekilde sınırlandırmalıyız. Grafiğe bakıp, y'nin, eksi 2'ye eşit ya da eksi 2 den büyük olduğu noktalarda tanımlı olduğunu söyleyebiliriz. Parantez içinde (y büyük eşit eksi 2) yazabiliriz değil mi güzel. Bu durum şu anda Değer Kümesi için geçerli. Ama x y ile değiştirdiğinde, bu sefer tanım Kümesi için geçerli olacak. Bu şekilde parantez içinde yazalım. Şimdi, x'i bulalım. Fonksiyonun tersini bulmak için bunu yapacağız. x'i bulacağız ve Tanım Kümesi ile bu arada değer Kümesi ne dikkat edeceğiz. Bakalım denklemin her iki yanına 2 ekleyelim. y artı 2 eşittir x eksi 1 in karesi. eksi 2 ile 2, birbirini götürdü. Şimdi bu aşamada y ye göre olan, y ye göre olan sınırlandırmaya geçiyorum, çünkü şu anda, x, Tanım Kümesin de mi, yoksa Değer Kümesin de mi, belirsiz. Ama bu soruyu çözdüğümüzde y Tanım Kümesin de olacak. Biz şimdiden değiştirelim. y büyük eşit eksi 2 için. Parantez içinde, (x küçük eşit 1) bunu da belirtelim. Soruyu tam olarak çözmediğimiz için her iki sınırlandırmayı da şimdilik tutuyoruz. y cinsinden çözmek için, her iki yanın karekökünü almalıyız. Bu, yanlış bir seçim olmaz ama çok dikkatli olmalısınız. Böyle bir şeyle daha önce karşılaşmamış olabilirsiniz. Sizin için ilginç bir deneyim olacak. Sağ yanda yalnızca x eksi 1 kalsın istiyoruz. Her iki yanın karekökünü almamızın amacı da bu zaten. Burada yalnızca x eksi 1 kalsın istiyoruz. x eksi 1, artı bir sayı mıdır, yoksa eksi bir sayı mıdır? x'i, 1'den küçük olacak şekilde sınırlandırmıştık. Yani x ya 1 olabilir ya da 1'den küçük olabilir. x, 1'e eşit ya da 1'den küçükse o zaman burası eksidir değil mi. Burası eksidir. Yani, eksi karekökü alacağız. Daha ayrıntılı anlatayım şimdi. Örneğin, elimdeki sayı eksi 3 ise ben onun karesini alırsam, sonuç, 9'dur. Ama 9'un karekökünü alırsam, bunun sonucunda. Gelin, denklemin her iki yanının karekökünü alalım. Amacımız, eksi 3 elde etmek. Artı karekökü alırsam, yani, her iki yanın da adi karekökünü alırsam, 3 eşittir 3 e ulaşırım ama amacımız bu değil. Amacımız eksi 3 ü elde etmek. Bu sebepten, eksi kareköke ulaşmak gerekiyor. Bu ifade eksi olduğu için ve bu ifadeye dönmek istediğimiz için yani x eksi 1 e dönmek istediğimiz için, her iki yanın da eksi karekökünü almalıyız. Her bir karesel sayının, artı ve eksi karekökü vardır. Adi karekök, artıdır ama biz eksi karekökü almak istiyoruz çünkü bu ifade eksi olacak. Çözümü ona göre yapacağız. Her iki yanın da o zaman eksi karekökünü alalım. y artı 2'nin eksi karekökü eşittir fazladan bir adım daha yazacağım ki, ne olduğunu daha iyi anlayın. Eşittir, eksi karekök x eksi 1 in karesi. y büyük eşit eksi 2 için ve x küçük eşit 1 için. Eksi karekökü kullanmamızın nedeni de bu sınırlandırma zaten. Bu ifade sol yanı yeniden yazayım. y artı 2'nin eksi karekökü eşittir x eksi 1 in karesinin eksi karekökü, x eksi 1 dir. x eksi 1 dir. x eksi 1 in karesi, artı bir sayıdır. Onun eksi kökü de, karesini aldığımız sayının eksisidir. Yani, x eksi 1 in eksisidir. Başında da eksi var. Sonuç olarak x eksi 1 kalır. Kare ifadesinden kurtulmak istiyoruz. Eksi olan kökü istiyoruz. Artı kökü alsaydık, elimizde 1 eksi x olurdu. Umarım aklınız karışmamıştır. 1 ekleyelim. Sınırlandırmayı da yazalım. Evet şimdi x'i bulabiliriz. y büyük eşit sınırlandırmamız neydi eksi 2'ydi y büyük eşit eksi 2. Her iki yana 1 ekleyelim. y artı 2'nin eksi karekökü artı 1, eşittir, x. y büyük eşit eksi 2 için. Şöyle de yazabiliriz: x, eşittir, y artı 2'nin eksi karekökü, artı 1. y büyük eşit eksi 2 için. Ters fonksiyon olduğunu belirtecek şekilde yazmak istersek, şöyle diyebiliriz: f y nin tersi, eşittir f y nin tersi, eşittir, y artı 2'nin eksi karekökü artı 1. y büyük eşit eksi 2 için. Fonksiyonu, bağımsız değişkeni x olacak şekilde yazmak istersek, x'ler ile y'leri yer değiştiririz. Yani, f x in tersi y yerine x yazdım. Eşittir, x artı 2 nin eksi karekökü, artı 1. y yerine x yazıyoruz. x, büyük eşit eksi 2 için. Gelin, grafiğini çizelim. x eşittir eksi 2 için, burası sıfır olur. Yani, grafiğimizde, eksi 2 ye 1 noktamız var. Grafiğimizde, eksi 2 ye 1 noktamız var. x eşittir eksi 1 için, burası eksi 1 olur. Grafiğimizde de, eksi 1 e sıfır noktası olur. eksi 1 e sıfır noktası. Sonra da x yerine x yerine 2 koyarsak... x eşittir 2 için, burası 4'tür. 4'ün adi karekökü 2'dir. Başında eksi var. eksi 2 . Yani, 2'ye eksi 1 yani, 2'ye eksi 1 grafiğimizdeki nokta olur. f nin ters fonksiyonunun grafiği yaklaşık olarak şöyledir. Grafik yaklaşık şöyle bir şeydir. Gördüğünüz gibi, ilk grafiğin, y eşittir x doğrusuna göre simetriğidir. y eşittir x doğrusuna göre. Neden? Çünkü, y ler ile x'ler yer değiştirdiler. Bu, görmenizi istediğim ZOR ters fonksiyon sorularından biriydi. Özellikle de yüksek matematiğe giriş dersi için. Çünkü, eksi karekökü almak gerektiğini bilmek, bu sorunun püf noktası. Tanım Kümesi sınırlandırıldığı için, bu ifade eksi olmak zorunda. Çözmek için, o yüzden eksi karekökü kullanmalısınız.