If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 1

Ders 8: Fonksiyonların Ters Olduklarını Doğrulayalım
Matematik
Cebir 2
Fonksiyonlar
Fonksiyonların Ters Olduklarını Doğrulayalım
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Bileşke Fonksiyonlarla Ters Fonksiyonu Doğrulayalım

Google Classroom
İki fonksiyonun bileşkesini alarak, bu fonksiyonların birbirinin tersi olup olmadığını nasıl doğrulayabileceğimizi öğrenelim. Örneğin, f(x)=5x-7 ve g(x)=x/5+7 birbirinin tersi midir?
Bu makalede fonksiyon bileşkesi konusu ele alınmaktadır. Eğer bu konuyu bir daha gözden geçirmeniz gerekiyorsa, bu makaleyi okumadan önce buraya göz atmanızı öneririz.
Ters fonksiyonlar, en genel anlamıyla, birbirini ''tersine çeviren'' fonksiyonlardır. Örneğin, eğer bir fonksiyon a'yı b'ye götürüyor ise, bu durumda tersi, b'yi a'ya götürüyor olmalıdır.
f ile g fonksiyonlarına örnek olarak şunları alalım: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction ve g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
Dikkat ederseniz, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2 ve g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 5.
Burada f'yi ve sonra g'yi uyguladığımızda, orijinal girdiyi tekrar elde ettiğimizi görüyoruz. Bileşke olarak yazarsak, bu g, left parenthesis, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis, equals, 5'tir.
Ancak iki fonksiyonun birbirinin tersi olabilmesi için, bunun f ve g'nin uygulandığı sıradan bağımsız olarak, tüm olası girdiler için geçerli olduğunu göstermeliyiz. Bu, ters bileşke kuralını gündeme getirir.

Ters bileşke kuralı

f ve g fonksiyonlarının birbirinin tersi olmasının koşulları bunlardır:
  • f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x g'nin tanım kümesindeki tüm x değerleri için
  • g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x f'nin tanım kümesindeki tüm x değerleri için
Bunun nedeni, eğer f ve g birbirinin tersiyse, f ve g'yi (herhangi bir sırayla) birleştirmenin, her girdi için o girdiyi veren bir fonksiyon yaratmasıdır. Bu fonksiyonu ''birim fonksiyon'' olarak adlandırırız.

Örnek 1: f ve g fonksiyonları birbirinin tersidir

Ters bileşke kuralını kullanarak, üstteki f ve g'nin gerçekten ters fonksiyon olduğunu doğrulama.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction ve g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 olduğunu hatırlayın.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis ile g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis'i bulalım.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=x\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=\dfrac{\greenD{g(x)}+1}{3}\\\\&=\dfrac{\greenD{3x-1}+1}{3}\\\\&=\dfrac{3x}{3}\\\\&=x\\\end{aligned}g(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x\qquad\qquad \begin{aligned}g(\purpleC{f(x)})&=3\left(\purpleC{f(x)}\right)-1\\\\&=3\left(\purpleC{\dfrac{x+1}{3}}\right)-1\\\\&=x+1-1\\\\&=x\\\end{aligned}
f ve g fonksiyonları birbirinin tersi olduğunu görürüz, çünkü f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x.

Örnek 2: f ve g fonksiyonları birbirinin tersi değildir

Eğer f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis veya g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis x'e eşit değilse, bu durumda f ve g birbirinin tersi olamaz.
Bunu f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, minus, 7 ve g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, divided by, 5, end fraction, plus, 7 için deneyelim.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=5(\greenD{g(x)})-7\\\\&=5\left(\greenD{\dfrac{x}{5}+7}\right)-7\\\\&=x+35-7\\\\&=x+28\end{aligned}\qquad g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285\qquad\begin{aligned} g(\purpleC{f(x)})&=\dfrac{\purpleC{f(x)}}{5}+7\\\\&=\dfrac{\purpleC{5x-7}}{5}+7\\\\&=x-\dfrac75+7\\\\&=x+\dfrac{28}{5}\\\end{aligned}
Buna göre f ve g fonksiyonları birbirinin tersi değildir, çünkü f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x ve g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x.
(Burada, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, plus, 28 olduğunu gösterdikten sonra f ve g'nin birbirinin tersi olmadığı sonucuna vardığımıza dikkat edin.)

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Genel olarak, f ve g'nin ters fonksiyonlar olup olmadığını kontrol etmek için, bunları birleştiririz. Eğer sonuç x ise, fonksiyonlar birbirinin tersidir. Değilse, tersi değildir.

1) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 7 ve h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 7, divided by, 2, end fraction

f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis ve h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis için x cinsinden sadeleştirilmiş ifadeler yazın.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f ve h fonksiyonları birbirinin tersi midir?
1 cevap seçin:

2) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, plus, 10 ve g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, minus, 10

f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis ve g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis için x cinsinden sadeleştirilmiş ifadeler yazın.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f ve g fonksiyonları birbirinin tersi midir?
1 cevap seçin:

3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, x, minus, 8 ve h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, plus, 8, right parenthesis

f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis ve h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis için x cinsinden sadeleştirilmiş ifadeler yazın.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f ve h fonksiyonları birbirinin tersi midir?
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.