Bir Polinomun Olası Gerçel (Reel) Köklerinin Sayısı

p(x) fonksiyonu bir polinom olarak tanımlanmış ve bu polinomun yedinci dereceden bir polinom olduğunu bu kuvvete bakarak görebilirsiniz. Şimdi, bu polinomun gerçek köklerinin sayısını bulmak istesem, sizce ne yapmam gerekir? Evet, gerçek köklerin sayısını bulmak istiyorum. Mesela 9 tane gerçek kökü vardır, diyebilir miyiz? Haydi, videoyu durdurun ve bu soruya kendi başınıza bir cevap vermeye çalışın. Cevabı bulduğunuzu biliyorum, cevaba ulaştığınıza eminim, şimdi de birlikte düşünelim. Cebirin temel ilkesine göre, tam tamına 7 tane kök elde edeceğiz. Bu köklerin bazıları gerçek olabilir ama sayısından emin değiliz. Emin olduğumuz tek şey, 8, 9 ya da 10 tane gerçek kök bulamayacağımız ve gerçek köklerin sayısının en fazla 7 olabileceği. Evet, ulaşabileceğimiz olası gerçek köklerin sayısı... Bunu yazayım. Olası gerçek köklerin sayısı, 7. Bu bir olasılık. Bu polinomu çizecek olursak grafik x eksenini 7 kere kesebilir. Evet, bu olabilir. Peki, 6 tane gerçek kök bir olasılık mı? Biraz düşünelim. 6 tane gerçek kök, gerçek olmayan karmaşık kökleri de düşünecek olursak... Bir dakika, gelin farklı bir şekilde düşünelim. Tüm bunları silelim. Evet, gerçek kökler, reel kökler de diyebiliriz. Ve gerçek olmayan, karmaşık kökler. Neden sadece karmaşık kökler demediğimi merak ediyor olabilirsiniz. Gerçek sayılar, biliyorsunuz, karmaşık sayıların bir alt kümesi. Gerçek olmayan karmaşık sayılar dediğimde ise, gerçek sayıları tamamen dışarıda bırakmış oluyorum. Evet, nerede kalmıştık? 7 tane gerçek kök olabilir demiştik. O zaman, gerçek olmayan kök sayısı sıfır olur, öyle değil mi? 6 tane gerçek kök olursa, 1 tane de gerçek olmayan kök olur. Ama bunu söylemek de tamamen yanlış olur. Neden mi? Çünkü gerçek olmayan karmaşık sayıların her birinin bir eşleniği vardır. O halde, buradaki sayının her zaman çift olması gerekir ve bu mantıkla, bu olasılığı elememiz gerekiyor. Bunun üzerini çizdik. Peki, 5 tane gerçek kök olabilir mi? 5 tane gerçek kök. 5 tane gerçek kök, toplamın 7 olması için, 2 tane gerçek olmayan karmaşık kök demek olur. İşte bu olabilir. Gerçek olmayan karmaşık köklerin sayısı 2, yani çift bir sayı. Size ne göstermeye çalıştığımı anladınız değil mi? Gerçek köklerin sayısı tek sayı olduğu sürece, ileri sürdüğümüz sayıları bir olasılık olarak değerlendirebiliriz. Aslında devam edersem her şey daha açık bir hale gelecek. Evet, 5 gerçek kök olabiliyordu. 4 gerçek kök için ne söyleyebiliriz? Bu durumda, gerçek olmayan karmaşık köklerin sayısı 3 olacağı için, bunu kabul edemeyiz. 3 gerçek kök, 4 gerçek olmayan karmaşık kök demek olur ve bu olabilir. 2 gerçek, 5 gerçek olmayan karmaşık kök de olamaz, 5 tek sayıdır. 1 gerçek, 6 gerçek olmayan karmaşık kök olabilir. Ve son olarak, sıfır gerçek kök bir olasılık olamaz. Çünkü tekrar edecek olursak, bu, 7 tane gerçek olmayan kök demek olur ve gerçek olmayan köklerin eşleniği olması gerektiği için, bu sayının çift olması gerekir. O halde, olası gerçek köklerin sayısı, 7, 5, 3 ve 1’dir. İşte yedinci dereceden bu polinomun sahip olabileceği gerçek köklerin sayıları.