Ana içerik

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 4

Ders 15: Polinom Fonksiyonlarında Simetri

Polinomlarda Simetri

Bir polinom fonksiyonun çift mi, tek mi, yoksa ikisi de olmadığını nasıl belirleyebileceğimizi öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Eğer bir fonksiyonun grafiği

y

eksenine göre simetrikse, bu fonksiyon çift fonksiyon olarak adlandırılır.

Cebirsel olarak, eğer tüm

x

değerleri için

f (- x) = f (x)

ise,

f

çift bir fonksiyondur.

Eğer bir fonksiyonun grafiği başlangıç noktasına göre simetrikse, bu fonksiyon tek fonksiyon olarak adlandırılır.

Cebirsel olarak, eğer tüm

x

değerleri için

f (- x) = - f (x)

ise,

f

tek bir fonksiyondur.

Eğer bu konu sizin için yeniyse, fonksiyonlarda simetriye giriş makalesine göz atmanızı öneririz.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Polinomun denklemine göre bir polinomun çift olduğunu, tek olduğunu veya bunlardan ikisi de olmadığını belirlemeyi öğreneceksiniz.

Araştırma: Tek terimlilerin simetrisi

Bir tek terimli, tek bir terime sahiptir. Tek terimliler

f (x) = a x^{n}

formundadır, burada

a

bir gerçek sayıdır ve

n

0

'a eşit veya büyük bir tamsayıdır.

Bu incelemede, çok sayıda tek terimlinin simetrisini analiz ederek, bir tek terimlinin çift veya tek olması için genel koşullar bulup bulamayacağımızı göreceğiz.

Genel olarak, bir

f

fonksiyonunun çift olduğunu, tek olduğunu veya ne çift ne de tek olduğunu belirlemek için, ifadeyi

f (- x)

için analiz ederiz:

Eğer $f (- x)$ ‍ $f (x)$ ‍ ile aynı ise, bu durumda $f$ ‍'nin çift olduğunu biliyoruz.
Eğer $f (- x)$ ‍ $f (x)$ ‍'in tersi ise, bu durumda $f$ ‍'nin tek olduğunu biliyoruz.
Diğer durumlarda, çift veya tek değildir.

İlk örneğimizde,

f (x) = 4 x^{3}

'ün çift olduğunu, tek olduğunu veya bunlardan ikisi de olmadığını belirleyelim.

$\begin{aligned} f (- x) & = 4 (- x)^{3} \\ = 4 (- x^{3}) & (- x)^{3} = - x^{3} \\ = - 4 x^{3} & Sadeleştirin \\ = - f (x) & Çünkü f (x) = 4 x^{3} \end{aligned}$ ‍

Burada

f (- x) = - f (x)

'tir ve dolayısıyla

f

fonksiyonu tek bir fonksiyondur.

[f'nin gerçekten tek olduğunu kontrol etmek için grafiğini görmek istiyorum.]

Şimdi, bir örüntü bulup bulamayacağınızı görmek üzere, siz bazı örnekler deneyin.

1) $g (x) = 3 x^{2}$ ‍ çift midir, tek midir, yoksa ikisi de değil midir?

[Yardıma ihtiyacım var!]

2) $h (x) = - 2 x^{5}$ ‍ çift midir, tek midir, yoksa ikisi de değil midir?

[Yardıma ihtiyacım var!]

Araştırmadan sonuçlar çıkarma

Yukarıdaki problemlerden, eğer

f

çift dereceden bir tek terimli fonksiyonsa, bu durumda

f

fonksiyonunun bir çift fonksiyon olduğunu görüyoruz. Benzer şekilde, eğer

f

tek dereceden tek terimli bir fonksiyonsa, bu durumda

f

bir tek fonksiyondur.

	Çift Fonksiyon	Tek Fonksiyon
Örnekler	$g (x) = 3 x^{2}$ ‍	$h (x) = - 2 x^{5}$ ‍
Genel olarak	$f (x) = a x^{n}$ ‍ burada $n$ ‍ $çifttir$ ‍	$f (x) = a x^{n}$ ‍ burada $n$ ‍ $tektir$ ‍

Bunun nedeni,

n

çift olduğundan

(- x)^{n} = x^{n}

n

tek olduğunda

(- x)^{n} = - x^{n}

olmasıdır.

Bu muhtemelen, fonksiyonların çift ve tek olarak adlandırılmalarının nedenidir!

Araştırma: Polinomların simetrisi

Bu incelemede, birden fazla terimi olan polinomların simetrisini analiz edeceğiz.

Örnek 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

f

'nin çift olduğunu veya tek olduğunu veya bunlardan ikisi de olmadığını belirlemek için

f (- x)

'i buluruz.

\begin{aligned} f (- x) & = 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} - 5 \\ = 2 (x^{4}) - 3 (x^{2}) - 5 & (- x)^{n} = x^{n} n çift olduğunda \\ = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 & Sadeleştirin \\ = f (x) & Çünkü f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 \end{aligned}

f (- x) = f (x)

olduğundan,

f

fonksiyonu çift bir fonksiyondur.

f

'nin tüm terimlerinin çift derece olduğuna dikkat edin.

Örnek 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

Gene,

g (- x)

'i bularak başlıyoruz.

\begin{aligned} g (- x) & = 5 (- x)^{7} - 3 (- x)^{3} + (- x) \\ = 5 (- x^{7}) - 3 (- x^{3}) + (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} n tek olduğunda \\ = - 5 x^{7} + 3 x^{3} - x & Sadeleştirin \end{aligned}

Bu noktada,

g (- x)

'teki her terimin

g (x)

'teki her terimin tersi olduğuna dikkat edin. Başka şekilde ifade edersek,

g (- x) = - g (x)

olduğundan

g

tek fonksiyondur.

g

'nin tüm terimlerinin tek derece olduğuna dikkat edin.

Örnek 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

h (- x)

'i bulalım.

\begin{aligned} h (- x) & = 2 (- x)^{4} - 7 (- x)^{3} \\ = 2 (x^{4}) - 7 (- x^{3}) & (- x)^{4} = x^{4} and (- x)^{3} = - x^{3} \\ = 2 x^{4} + 7 x^{3} & Sadeleştirin \end{aligned}

2 x^{4} + 7 x^{3}

h (x)

ile aynı değildir ve

h (x)

'in tersi değildir.

Matematiksel olarak,

h (- x) \neq h (x)

h (- x) \neq - h (x)

olduğundan,

h

çift değildir, tek değildir.

h

'nin bir çift-derece terimi ve bir tek-derece terimi olduğuna dikkat edin.

Araştırmadan sonuçlar çıkarma

Genel olarak, bir polinomun çift olduğunu, tek olduğunu veya ne çift ne de tek olduğunu, her terimi inceleyerek belirleyebiliriz.

‍	Genel kural	Örnek polinom
Çift	Bir polinom, eğer her terim bir çift fonksiyonsa, çifttir.	$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍
Tek	Bir polinom, eğer her terim bir tek fonksiyonsa, tektir.	$g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍
İkisi de değil	Eğer hem çift hem tek fonksiyonlardan oluşuyorsa, bir fonksiyon ne çift ne de tektir.	$h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍