If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 4

Ders 15: Polinom Fonksiyonlarında Simetri
Matematik
Cebir 2
Polinomlar
Polinom Fonksiyonlarında Simetri
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Polinomlarda Simetri

Google Classroom
Bir polinom fonksiyonun çift mi, tek mi, yoksa ikisi de olmadığını nasıl belirleyebileceğimizi öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Eğer bir fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrikse, bu fonksiyon çift fonksiyon olarak adlandırılır.
Cebirsel olarak, eğer tüm x değerleri için f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis ise, f çift bir fonksiyondur.
Eğer bir fonksiyonun grafiği başlangıç noktasına göre simetrikse, bu fonksiyon tek fonksiyon olarak adlandırılır.
Cebirsel olarak, eğer tüm x değerleri için f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis ise, f tek bir fonksiyondur.
Eğer bu konu sizin için yeniyse, fonksiyonlarda simetriye giriş makalesine göz atmanızı öneririz.

Bu derste öğrenecekleriniz:

Polinomun denklemine göre bir polinomun çift olduğunu, tek olduğunu veya bunlardan ikisi de olmadığını belirlemeyi öğreneceksiniz.

Araştırma: Tek terimlilerin simetrisi

Bir tek terimli, tek bir terime sahiptir. Tek terimliler f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, n, end superscript formundadır, burada a bir gerçek sayıdır ve n 0'a eşit veya büyük bir tamsayıdır.
Bu incelemede, çok sayıda tek terimlinin simetrisini analiz ederek, bir tek terimlinin çift veya tek olması için genel koşullar bulup bulamayacağımızı göreceğiz.
Genel olarak, bir f fonksiyonunun çift olduğunu, tek olduğunu veya ne çift ne de tek olduğunu belirlemek için, ifadeyi f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis için analiz ederiz:
  • Eğer f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis f, left parenthesis, x, right parenthesis ile aynı ise, bu durumda f'nin çift olduğunu biliyoruz.
  • Eğer f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis f, left parenthesis, x, right parenthesis'in tersi ise, bu durumda f'nin tek olduğunu biliyoruz.
  • Diğer durumlarda, çift veya tek değildir.
İlk örneğimizde, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, cubed'ün çift olduğunu, tek olduğunu veya bunlardan ikisi de olmadığını belirleyelim.
f(−x)=4(−x)3=4(−x3)(−x)3=−x3=−4x3Sadeleştirin=−f(x)Çu¨nku¨ f(x)=4x3\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=4(\blueD{-x})^3\\ \\ &=4(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=-4x^3&&\small{\gray{\text{Sadeleştirin}}}\\ \\ &=-f(x)&&\small{\gray{\text{Çünkü $f(x)=4x^3$}}}\\ \end{aligned}
Burada f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis'tir ve dolayısıyla f fonksiyonu tek bir fonksiyondur.
Şimdi, bir örüntü bulup bulamayacağınızı görmek üzere, siz bazı örnekler deneyin.
1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared çift midir, tek midir, yoksa ikisi de değil midir?
1 cevap seçin:

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, 5, end superscript çift midir, tek midir, yoksa ikisi de değil midir?
1 cevap seçin:

Araştırmadan sonuçlar çıkarma

Yukarıdaki problemlerden, eğer f çift dereceden bir tek terimli fonksiyonsa, bu durumda f fonksiyonunun bir çift fonksiyon olduğunu görüyoruz. Benzer şekilde, eğer f tek dereceden tek terimli bir fonksiyonsa, bu durumda f bir tek fonksiyondur.
Çift FonksiyonTek Fonksiyon
Örnekler g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscripth, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, end superscript
Genel olarakf, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #aa87ff, n, end color #aa87ff, end superscript burada n start color #aa87ff, start text, ç, i, f, t, t, i, r, end text, end color #aa87fff, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #1fab54, n, end color #1fab54, end superscript burada n start color #1fab54, start text, t, e, k, t, i, r, end text, end color #1fab54
Bunun nedeni, n çift olduğundan left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, x, start superscript, n, end superscript ve n tek olduğunda left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, minus, x, start superscript, n, end superscript olmasıdır.
Bu muhtemelen, fonksiyonların çift ve tek olarak adlandırılmalarının nedenidir!

Araştırma: Polinomların simetrisi

Bu incelemede, birden fazla terimi olan polinomların simetrisini analiz edeceğiz.

Örnek 1: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5

f'nin çift olduğunu veya tek olduğunu veya bunlardan ikisi de olmadığını belirlemek için f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis'i buluruz.
f(−x)=2(−x)4−3(−x)2−5=2(x4)−3(x2)−5(−x)n=xnn çift oldug˘unda=2x4−3x2−5Sadeleştirin=f(x)Çu¨nku¨ f(x)=2x4−3x2−5\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-3(\blueD{-x})^2-5\\ \\ &=2(x^4)-3(x^2)-5&&\small{\gray{(-x)^n=x^n\text{$n$ çift olduğunda}}}\\ \\ &=2x^4-3x^2-5&&\small{\gray{\text{Sadeleştirin}}}\\\\ &=f(x)&&\small{\gray{\text{Çünkü } f(x)=2x^4-3x^2-5}} \end{aligned}
f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis olduğundan, f fonksiyonu çift bir fonksiyondur.
f'nin tüm terimlerinin çift derece olduğuna dikkat edin.

Örnek 2: g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x

Gene, g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis'i bularak başlıyoruz.
g(−x)=5(−x)7−3(−x)3+(−x)=5(−x7)−3(−x3)+(−x)(−x)n=−xn n tek oldug˘unda=−5x7+3x3−xSadeleştirin\begin{aligned}g(\blueD{-x})&=5(\blueD{-x})^7-3(\blueD{-x})^3+(\blueD{-x})\\ \\ &=5(-x^7)-3(-x^3)+(-x)&&\small{\gray{(-x)^n=-x^n\text{ $n$ tek olduğunda}}}\\ \\ &=-5x^7+3x^3-x&&\small{\gray{\text{Sadeleştirin}}}\\ \end{aligned}
Bu noktada, g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis'teki her terimin g, left parenthesis, x, right parenthesis'teki her terimin tersi olduğuna dikkat edin. Başka şekilde ifade edersek, g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, g, left parenthesis, x, right parenthesis olduğundan g tek fonksiyondur.
g'nin tüm terimlerinin tek derece olduğuna dikkat edin.

Örnek 3: h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis'i bulalım.
h(−x)=2(−x)4−7(−x)3=2(x4)−7(−x3)(−x)4=x4 and (−x)3=−x3=2x4+7x3Sadeleştirin\begin{aligned}h(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-7(\blueD{-x})^3\\ \\ &=2(x^4)-7(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^4=x^4\text{ and } (-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=2x^4+7x^3&&\small{\gray{\text{Sadeleştirin}}}\\\\ \end{aligned}
2, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 7, x, cubed, h, left parenthesis, x, right parenthesis ile aynı değildir ve h, left parenthesis, x, right parenthesis'in tersi değildir.
Matematiksel olarak, h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, h, left parenthesis, x, right parenthesis ve h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, minus, h, left parenthesis, x, right parenthesis olduğundan, h çift değildir, tek değildir.
h'nin bir çift-derece terimi ve bir tek-derece terimi olduğuna dikkat edin.

Araştırmadan sonuçlar çıkarma

Genel olarak, bir polinomun çift olduğunu, tek olduğunu veya ne çift ne de tek olduğunu, her terimi inceleyerek belirleyebiliriz.
empty spaceGenel kuralÖrnek polinom
ÇiftBir polinom, eğer her terim bir çift fonksiyonsa, çifttir.f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5
TekBir polinom, eğer her terim bir tek fonksiyonsa, tektir.g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x
İkisi de değilEğer hem çift hem tek fonksiyonlardan oluşuyorsa, bir fonksiyon ne çift ne de tektir.h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 5 çift midir, tek midir, yoksa ikisi de değil midir?
1 cevap seçin:

4) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 6, x, cubed, plus, x, squared çift midir, tek midir, yoksa ikisi de değil midir?
1 cevap seçin:

5) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 10, x, start superscript, 5, end superscript, plus, 2, x, cubed, minus, x çift midir, tek midir, yoksa ikisi de değil midir?
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.