If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Polinomların Sıfıra Eşit Olduğu Değerler ve Grafikleri

Polinomların sıfırları, kökleri ve x ekseni kesim noktaları arasındaki ilişkiyi ve sıfır çokluğunu öğrenelim.

Bu derste öğrenecekleriniz

Polinomlarla çalışırken sıfır, kök, çarpan ve x kesme noktası terimlerini oldukça sık duyarsınız.
Bu makalede, polinomların bu özelliklerini ve aralarındaki özel ilişkileri araştıracağız.

Polinom fonksiyonlar için temel bağlantılar

Bir f polinomu ve bir k gerçek sayısı için, aşağıdaki ifadeler denktir:
  • x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 denkleminin bir kökü veya çözümüdür
  • start color #01a995, k, end color #01a995 f fonksiyonunun bir sıfırıdır
  • left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğinin bir x kesme noktasıdır
  • x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 f, left parenthesis, x, right parenthesis'in doğrusal bir çarpanıdır
Bunu g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis polinomuyla anlayalım. Bu polinom, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis olarak yazılabilir.
Önce, g, left parenthesis, x, right parenthesis'in doğrusal çarpanlarının left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis ve left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis olduğunu görürüz.
Eğer g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 der ve x için çözersek, x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 veya x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 elde ederiz. Bunlar, denklemin çözümleri veya kökleridir.
Bir fonksiyonun sıfırı, bu fonksiyonun değerini 0 yapan x değeridir. x, equals, 3 ve x, equals, minus, 2'nin g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0'ın çözümleri olduğunu biliyoruz, dolayısıyla start color #01a995, 3, end color #01a995 ve start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 g fonksiyonunun sıfırlarıdır.
Son olarak, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğinin x kesme noktaları yukarıda çözülmüş olan 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis denklemini sağlar. Denklemin x kesme noktaları left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis ve left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis'dır.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

1) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis'nin sıfırları nelerdir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

2) g fonksiyonunun grafiği x eksenini left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis'da keser. g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 denkleminin bir kökü ne olmalıdır?
x, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) h fonksiyonunun sıfırları minus, 1 ve 3'tür. Aşağıdakilerden hangisi h, left parenthesis, x, right parenthesis olabilir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Sıfırlar ve çokluk

Bir polinomun çarpanlara ayrılmasında bir doğrusal çarpan birden çok kez görüldüğünde, bu çarpan için çokluk olduğunu söyleriz.
Örneğin, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript polinomunda 4 rakamı start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff çokluğunun bir sıfırıdır.
f, left parenthesis, x, right parenthesis'i açtığımızda, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis çarpanının start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff kez yazıldığına dikkat edin.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color #aa87ff
Buna göre, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0'ı çözdüğünüzde x, equals, 4'ü iki kez elde edeceksiniz.
0=(x1)(x4)(x4)x1=0x4=0x4=0x=1x=4x=4\begin{aligned}0&=(x-1)\purpleC{(x-4)(x-4)}\\ \\ &x-1=0\qquad x-4=0\qquad x-4=0\\\\ &x=1\qquad \qquad \purpleC{x=4}\qquad \qquad \purpleC{x=4} \end{aligned}
Genel olarak, eğer bir polinomun çarpanlarına ayrılmasında x, minus, k m kez oluşursa, bu durumda k, m çokluklu bir sıfırdır. 2 çokluklu bir sıfır, çift sıfır olarak adlandırılır.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

4) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, cubed'ün hangi sıfırının çokluğu 3'tür?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

5) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, squared'nin hangi sıfırı bir çift sıfırdır?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Grafiksel bağlantı

Bir sıfırın çokluğu önemlidir, çünkü bize polinomun grafiğinin sıfır etrafında nasıl davranacağını anlatır.
Örneğin, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared grafiğinin 1 sıfırı yakınında, bir çift sıfır olan 4 sıfırı yakınındakinden farklı davrandığına dikkat edin.
Özellikle, grafik x eksenini x, equals, 1'de keserken, x, equals, 4'te x eksenine sadece dokunur.
Sıfırları aynı olan ancak çoklukları farklı olan bir fonksiyonun grafiğine bakalım. Örneğin, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis'ü düşünün. Bu fonksiyon için 1'in şimdi bir çift sıfır olduğuna ve 4'ün ise tek sıfır olduğuna dikkat edin.
Şimdi, g grafiğinin x eksenine x, equals, 1'de değdiğini ve x eksenini x, equals, 4'te kestiğini görüyoruz.
Genel olarak, eğer bir f fonksiyonu tek çokluğun sıfırına sahipse, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis grafiği x eksenini o x değerinde geçecektir. Eğer bir f fonksiyonu çift çokluğun sıfırına sahipse, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis grafiği x eksenine o noktada değecektir.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

6) Grafiği verilen fonksiyonda, 6 sıfırının çokluğu çift midir yoksa tek midir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

7) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis grafiği hangisidir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Zor problem

8*) Aşağıdakilerden hangisi f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 4, x, squared, minus, 4, x grafiğidir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin: