Eğer bu mesajı görüyorsanız, web sitemizde dış kaynakları yükleme sorunu yaşıyoruz demektir.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Ana içerik

Polinomların Sıfıra Eşit Olduğu Değerler ve Grafikleri

Polinomların sıfırları, kökleri ve x ekseni kesim noktaları arasındaki ilişkiyi ve sıfır çokluğunu öğrenelim.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Polinomlarla çalışırken sıfır, kök, çarpan ve x kesme noktası terimlerini oldukça sık duyarsınız.
Bu makalede, polinomların bu özelliklerini ve aralarındaki özel ilişkileri araştıracağız.

Polinom fonksiyonlar için temel bağlantılar

Bir f polinomu ve bir k gerçek sayısı için, aşağıdaki ifadeler denktir:
  • x=k f(x)=0 denkleminin bir kökü veya çözümüdür
  • k f fonksiyonunun bir sıfırıdır
  • (k,0) y=f(x) grafiğinin bir x kesme noktasıdır
  • xk f(x)'in doğrusal bir çarpanıdır
Bunu g(x)=(x3)(x+2) polinomuyla anlayalım. Bu polinom, g(x)=(x3)(x(2)) olarak yazılabilir.
Önce, g(x)'in doğrusal çarpanlarının (x3) ve (x(2)) olduğunu görürüz.
Eğer g(x)=0 der ve x için çözersek, x=3 veya x=2 elde ederiz. Bunlar, denklemin çözümleri veya kökleridir.
Bir fonksiyonun sıfırı, bu fonksiyonun değerini 0 yapan x değeridir. x=3 ve x=2'nin g(x)=0'ın çözümleri olduğunu biliyoruz, dolayısıyla 3 ve 2 g fonksiyonunun sıfırlarıdır.
Son olarak, y=g(x) grafiğinin x kesme noktaları yukarıda çözülmüş olan 0=g(x) denklemini sağlar. Denklemin x kesme noktaları (3,0) ve (2,0)'dır.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

1) f(x)=(x+4)(x7)'nin sıfırları nelerdir?
1 cevap seçin:

2) g fonksiyonunun grafiği x eksenini (2,0)'da keser. g(x)=0 denkleminin bir kökü ne olmalıdır?
x=
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3/5 gibi
  • birleşik kesir, 7/4 gibi
  • 1 3/4 gibi bir tam sayılı kesir
  • 0,75 gibi bir tam ondalık sayı
  • pi'nin katı, 12gibi pi veya 2/3 pi

3) h fonksiyonunun sıfırları 1 ve 3'tür. Aşağıdakilerden hangisi h(x) olabilir?
1 cevap seçin:

Sıfırlar ve çokluk

Bir polinomun çarpanlara ayrılmasında bir doğrusal çarpan birden çok kez görüldüğünde, bu çarpan için çokluk olduğunu söyleriz.
Örneğin, f(x)=(x1)(x4)2 polinomunda 4 rakamı 2 çokluğunun bir sıfırıdır.
f(x)'i açtığımızda, (x4) çarpanının 2 kez yazıldığına dikkat edin.
f(x)=(x1)(x4)(x4)
Buna göre, f(x)=0'ı çözdüğünüzde x=4'ü iki kez elde edeceksiniz.
0=(x1)(x4)(x4)x1=0x4=0x4=0x=1x=4x=4
Genel olarak, eğer bir polinomun çarpanlarına ayrılmasında xk m kez oluşursa, bu durumda k, m çokluklu bir sıfırdır. 2 çokluklu bir sıfır, çift sıfır olarak adlandırılır.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

4) f(x)=(x3)(x1)3'ün hangi sıfırının çokluğu 3'tür?
1 cevap seçin:

5) g(x)=(x+1)3(2x+1)2'nin hangi sıfırı bir çift sıfırdır?
1 cevap seçin:

Grafiksel bağlantı

Bir sıfırın çokluğu önemlidir, çünkü bize polinomun grafiğinin sıfır etrafında nasıl davranacağını anlatır.
Örneğin, f(x)=(x1)(x4)2 grafiğinin 1 sıfırı yakınında, bir çift sıfır olan 4 sıfırı yakınındakinden farklı davrandığına dikkat edin.
Özellikle, grafik x eksenini x=1'de keserken, x=4'te x eksenine sadece dokunur.
Sıfırları aynı olan ancak çoklukları farklı olan bir fonksiyonun grafiğine bakalım. Örneğin, g(x)=(x1)2(x4)'ü düşünün. Bu fonksiyon için 1'in şimdi bir çift sıfır olduğuna ve 4'ün ise tek sıfır olduğuna dikkat edin.
Şimdi, g grafiğinin x eksenine x=1'de değdiğini ve x eksenini x=4'te kestiğini görüyoruz.
Genel olarak, eğer bir f fonksiyonu tek çokluğun sıfırına sahipse, y=f(x) grafiği x eksenini o x değerinde geçecektir. Eğer bir f fonksiyonu çift çokluğun sıfırına sahipse, y=f(x) grafiği x eksenine o noktada değecektir.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

6) Grafiği verilen fonksiyonda, 6 sıfırının çokluğu çift midir yoksa tek midir?
1 cevap seçin:

7) h(x)=x2(x3) grafiği hangisidir?
1 cevap seçin:

Zor problem

8*) Aşağıdakilerden hangisi f(x)=x3+4x24x grafiğidir?
1 cevap seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.