Ana içerik

Konu: Cebir 2 > Ünite 5

Ders 1: Karekök İçeren Denklemler Çözelim

Karekök İçeren Denklemler Çözelim

Alıştırmaya başlamadan önce, biraz ısınmaya ne dersiniz?

Giriş

Bu makalede, daha fazla kareköklü denklem çözeceğiz. Bunlar daga önce çözmüş olduğunu denklemlerden biraz farklı: çözümü bulmak için daha fazla iş yapmak gerekecek ve fazlalık çözümlü daha zor problemlere bakacağız.

Alıştırma sorusu 1: Köklü terimi yalnız bırakma

Aşağıdaki denklemde $x$ ‍'i bulunuz.

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

x =

Adım 1: Köklü terimi tek başına bırakın.

İki tarafın karesini almadan önce, köklü terimi yalnız bırakmamız gerekir.

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 x - 7} & = 7 \end{aligned}$ ‍

Adım 2: İki tarafın karesini alın.

Artık köklü terimi yalnız bıraktığımıza göre, kökten kurtarmak için iki tarafın karesini alabiliriz:

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} & = 7 \\ {(\sqrt{2 x - 7})}^{2} & = (7)^{2} \\ 2 x - 7 & = 49 \\ 2 x & = 56 \\ x & = 28 \end{aligned}$ ‍

Adım 3: Fazlalık çözümleri kontrol edin.

Orijinal denklem

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

'tür.

x = 28

olduğunda, bunu elde ederiz:

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 (28) - 7} - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ \sqrt{49} - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ 7 - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ 4 & = 4 \end{aligned}$ ‍

O zaman

x = 28

gerçekten bir çözümdür.

Alıştırma sorusu 2: İki olası çözüm

Aşağıdaki denklemin çözümleri nelerdir?

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

Adım 1: Köklü terimi tek başına bırakın.

İki tarafın karesini almadan önce, köklü terimi yalnız bırakmamız gerekir.

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \end{aligned}$ ‍

Adım 2: İki tarafın karesini alın.

Artık köklü terimi yalnız bıraktığımıza göre, kökten kurtarmak için iki tarafın karesini alabiliriz:

$\begin{aligned} 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \\ {(6 + x)}^{2} & = {(\sqrt{2 x + 12})}^{2} \\ 36 + 12 x + x^{2} & = 2 x + 12 \\ x^{2} + 10 x + 24 & = 0 \\ (x + 6) (x + 4) & = 0 \end{aligned}$ ‍

İki olası çözüm bulduk,

x = - 6

x = - 4

Adım 3: Fazlalık çözümleri kontrol edin.

Orijinal denklem

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

'tir.

x = - 6

olduğunda, bunu elde ederiz:

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 (- 6) & \overset{?}{=} \sqrt{2 (- 6) + 12} + 2 (- 6) \\ - 12 & \overset{?}{=} \sqrt{0} - 12 \\ - 12 & \overset{?}{=} 0 - 12 \\ - 12 & = - 12 \end{aligned}$ ‍

O zaman

x = - 6

gerçekten bir çözümdür.

x = - 4

olduğunda, bunu elde ederiz:

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 (- 4) & \overset{?}{=} \sqrt{2 (- 4) + 12} + 2 (- 4) \\ - 6 & \overset{?}{=} \sqrt{4} - 8 \\ - 6 & \overset{?}{=} 2 - 8 \\ - 6 & = - 6 \end{aligned}$ ‍

Buna göre,

x = - 4

de bir çözümdür!

Sonuç

Bu denklemin iki çözümü olduğunu bulduk! Hem

x = - 6

, hem de

x = - 4

denklemin çözümüdür.

Alıştırma sorusu 3

Aşağıdaki denklemin çözümleri nelerdir?

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

Adım 1: Köklü terimi tek başına bırakın.

İki tarafın karesini almadan önce, köklü terimi yalnız bırakmamız gerekir.

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Adım 2: İki tarafın karesini alın.

Artık köklü terimi yalnız bıraktığımıza göre, kökten kurtarmak için iki tarafın karesini alabiliriz:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \\ {(\sqrt{7 x^{2} + 15 x})}^{2} & = {(5 + 3 x)}^{2} \\ 7 x^{2} + 15 x & = 25 + 30 x + 9 x^{2} \\ 0 & = 2 x^{2} + 15 x + 25 \\ 0 & = (2 x + 5) (x + 5) \end{aligned}$ ‍

İki olası çözüm bulduk,

x = - 5

x = - \frac{5}{2}

Adım 3: Fazlalık çözümleri kontrol edin.

Orijinal denklem

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

'tir.

x = - 5

olduğunda, bunu elde ederiz:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 {(- 5)}^{2} + 15 (- 5)} - 2 (- 5) & \overset{?}{=} 5 + (- 5) \\ \sqrt{100} + 10 & \overset{?}{=} 0 \\ 10 + 10 & \overset{?}{=} 0 \\ 20 & \neq 0 \end{aligned}$ ‍

O zaman,

x = 5

bir çözüm değildir.

x = - \frac{5}{2}

olduğunda, bunu elde ederiz:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 15 (- \frac{5}{2})} - 2 (- \frac{5}{2}) & \overset{?}{=} 5 + (- \frac{5}{2}) \\ \sqrt{\frac{175}{4} - \frac{75}{2}} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \sqrt{\frac{25}{4}} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \frac{15}{2} & \neq \frac{5}{2} \end{aligned}$ ‍

Buna göre,

x = - \frac{5}{2}

de bir çözüm değildir.

Sonuç

Bu denklemin çözümü olmadığını bulduk.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.