Doğru ve Ters Orantı

Bu videoda doğru ve ters orantıdan bahsedeceğiz. Burada solda doğru orantıyı yapacağım. Ve ters orantıyı veya ters orantılı iki değişkeni de şu sağda göstereceğim. Doğru orantıdaki iki değişkenin en basit tanımı şöyledir. y ile x doğru orantıdaysa, y eşittir bir sabit çarpı x'tir. Bunu sözel olarak yazabiliriz. y, x'le doğru orantıdadır. Bu sabit size garip geliyorsa, unutmayın, bu sabit dediğimiz, herhangi bir sayı olabilir. Şimdi size y'nin x'le doğru orantıda olduğu birkaç örnek vereyim. Mesela y eşittir x diyebiliriz. Bu durumda sabit 1 olduğu için, yazmıyoruz bile. y eşittir 1 x olarak yazabiliriz ve bu durumda k 1'e eşittir. y eşittir 2 x de yazabiliriz. Veya y eşittir 1 bölü 2 x. y eşittir eksi 2 x yazabiliriz. Hala doğru orantıdayız. y eşittir eksi 1 bölü 2 x yazabiliriz. y eşittir Pi çarpı x olabilir. y eşittir eksi Pi çarpı x yazabiliriz. Neyse sanırım anladınız. Herhangi bir sabit çarpı x'te doğru orantı vardır. Bunu biraz daha somut olarak anlamak için, bu durumların her birinde neler olduğunu bir inceleyelim. Bir pozitif, bir de negatif katsayılı örneğe bakalım. Çünkü tam olarak mantıklı gelmeyebilir değil mi? Bu pozitif ve negatif nasıl oluyorda ikiside doğru orantılı diye. Şimdi y eşittir 2 x örneğine bakalım. Ve neden doğru orantıda olduklarını inceleyelim. x için birkaç değer seçelim ve sonuçtaki y değerlerini bulalım. x 1'e eşitse, y eşittir 2 çarpı 1, yani 2. x 2'ye eşitse, y eşittir 2 çarpı 2, bu da eşittir 4. 1'den 2'ye x'in 2 katını aldığımızda, aynı şey y'ye de oluyor. y'nin de 2 katını aldık, bu, doğru orantı durumunda ne olduğunu özetliyor. x'i bir oranda artırırsak, y'yi de aynı oranda artırırız. x'i bir oranda azaltırsak, y'yi de aynı oranda azaltırız. Bu örneklerin hepsinde aynı durumun geçerli olduğunu göstermek için, y eşittir eksi 2 x örneğini yapalım. Morla yazayım. Hayır, hayır.. Yeniyi yepyeni başka bir örnek yapalım, örneğin y eşittir ne diyelim ? Eksi 3 x diyelim. Yine x ve y değerlerini bulacağız. x 1'e eşit olduğunda, y eşittir eksi 3 çarpı 1, . bu da eşittir eksi 3. x 2'ye eşit olduğunda, eksi 3 çarpı 2 eşittir eksi 6. Dikkat ederseniz, 2 ile ölçeklediğimde, y de 2 katına çıkıyor. Eksi 3'ten eksi 6'ya giderken de 2 ile çarpıyoruz. Yani, aynı ölçek oranında artıyor. Şimdi diğer yönde gidelim. x eşittir 1 bölü 3'ü deneyelim. x 1 bölü 3'e eşitse, y eksi 3 çarpı 1 bölü 3, yani eksi 1 olur. 1'den 1 bölü 3'e ulaşmak için, 3'e bölüyoruz. Eksi 3'ten eksi 1'e ulaşmak için de 3'e bölüyoruz. 3 oranında azaltıyoruz. Yani x'i hangi yönde ölçeklersek, y'yi de aynı yönde ölçekliyoruz. Doğru orantının anlamı budur. Bu her zaman çok açık olmayabilir. Şimdi şuradaki örneğe bakalım. y eşittir eksi 3 x. Bu denklemin iki tarafını x'e bölebilirsiniz. Böylece, y bölü x eşittir eksi 3 buluruz. Veya iki tarafı x'e böleriz. Ve sonra da iki tarafı y'ye böleriz. Şimdi iki tarafı y'ye bölersek, 1 bölü x eşittir eksi 3 çarpı 1 bölü y. Bu üç cümle, bu üç denklem aynı şeydir. Bazen doğru orantı çok bariz olmayabilir. Çok bariz bir şekilde görünüyor olmayabilir. Ama buradaki yaptığımız işlemler sonucunda hep aynı şeyi elde ediyoruz. Veya yine buradaki hale çevirebiliriz. Başka şekillerde de düşünebiliriz. Denklemin iki tarafını da eksi 3'e bölebiliriz. Sonra da eksi 1 bölü 3 y eşittir x buluruz. Buradaki aslında ilginç bir durum. Çünkü burada x, y ile doğru orantıdadır. Veya x eşittir k çarpı y diyebiliriz. Genelde y, x ile doğru orantıda değişirse, x de y ile doğru orantıda değişir. Aynı sabit olmayacak, bu sabitin tersi olacak. Ama yine de doğru orantı var. Şimdi doğru orantıyı yeterince konuştuğumuza göre, ters orantıya bakalım. Ters orantının genel halinde, değişkenlerin y ve x olması şart değil, A ve B olabilir. M ve N olabilir farketmez. Ters orantıda y ve x'i kullanırsam, y eşittir bir sabit çarpı 1 bölü x olur. 1 bölü x. Sabit çarpı x yerine sabit çarpı 1 bölü x olur. Şimdi size birkaç örnek göstereyim. y eşittir 1 bölü x olabilir. y eşittir 2 çarpı 1 bölü x olabilir, bu da 2 bölü x'le aynı şeydir. y eşittir 1 bölü 3 çarpı 1 bölü x olabilir. Bu da 1 bölü 3 x'le aynı şeydir. y eşittir eksi 2 bölü x'le aynı şeydir. Ters orantıyı da doğru orantı gibi inceleyelim. y eşittir 2 bölü x'i seçelim. Buradaki gibi bir tablo oluşturalım. Şimdi x 1 ise, y eşittir 2. x 2 ise, 2 bölü 2 eşittir 1. Buna göre, x'i 2 ile çarptığınızda, y'ye ne oluyor? y 2 kat azalıyor. 2'ye bölüyorsunuz. Aradaki farkı gördünüz değil mi ? Burada x'i ne kadar artırdık veya ne kadar azalttıysak, y'yi de aynı şekilde ölçekledik. x artıyorsa arttı, x azalıyorsa azaldı. Ama şimdi, x'i belli bir oranda artırırsak, ters orantıda y'yi aynı oranda azaltıyoruz. Ters sözcüğü buradan geliyor. Diğer şekilde de inceleyebiliriz. x'i 1 bölü 2'ye eşitlersek, yani x'i azaltırsak, bu seferde y'yi arttıracağız değil mi? Çünkü 2 bölü 1 bölü 2, 4'e eşittir. Yani, burada y'yi artırıyoruz. Tam ters yönde değişiyorlar. Bunu negatif bir sabitle de deneyebiliriz. Bu orantının her zaman böyle anlaşılır şekilde verilmeyebileceğini tekrardan belirtmek istiyorum. Bu orantı, birkaç değişik şekilde ifade edilebilir. Ama cebirsel olarak denk oldukları sürece, ters orantı durumu korunur. Bu denklemin şimdi iki tarafını x ile çarpabilirsiniz. xy eşittir 2 elde edersiniz, bu da ters orantı olur. Bu tablonun aynısını bulursunuz. Denklemin iki tarafını y'ye bölersiniz x eşittir 2 bölü y bulursunuz. Bu da 2 çarpı 1 bölü y ile aynı şey olur. Dikkat ettiyseniz, y ve x ters orantıdalar. Ve bunu cebirsel olarak değiştirerek x'in y ile ters orantıda olduğunu gösterebilirsiniz Buna göre, y'nin x ile ters orantıda değişmesi, . x'in y ile ters orantıda değişmesiyle aynı şeydir Başka şeyler de var. Mesela bunu alıp iki tarafı 2'ye bölebilirim. Ve y bölü 2 eşittir 1 bölü x bulursunuz. Başka çılgın şeyler de bulabilirsiniz. Genelde, iki değişkenin arasındaki bağıntıyı doğru mu, ters mi veya ikisi de değil mi diye sorgularken böyle bir tablo oluşturmayı deneyebilirsiniz x'i artırdığınızda, y de aynı oranda artıyorsa, bu doğru orantıdır. Bunu birkaç kere deneyebilirsiniz. Ve x azalırsa, y'ye tam tersi olursa, o zaman muhtemelen ters orantı olur. Ama orantıyı teşhis etmenin en iyi yolu, denklemi cebirsel olarak değiştirip bu iki şekilden birine dönüştürmektir. Böyle olursa, ters orantıdır. Veya şu biçim, şu şekilde olursa doğru orantı belirtir.