If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 6

Ders 2: Rasyonel İfadelerde Çarpma ve Bölme
Matematik
Cebir 2
Rasyonel İfadeler
Rasyonel İfadelerde Çarpma ve Bölme
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Rasyonel İfadelerde Bölme

Google Classroom
İki rasyonel ifadenin bölümünü nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bir rasyonel ifade, iki polinomun bir oranıdır. Bir rasyonel ifadenin tanım kümesi, ifadenin paydasını sıfıra eşitleyenler hariç tüm gerçek sayıları içerir.
Rasyonel ifadeleri, sayısal kesirleri çarptığımız gibi çarpabiliriz — çarpanlara ayırarak, ortak çarpanları yok ederek ve iç çarpım yaparak.
Eğer bu konu sizin için yeniyse, önce aşağıdaki makalelere göz atmak isteyebilirsiniz:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu derste, rasyonel ifadeleri nasıl böleceğinizi öğreneceksiniz.

Kesirlerde Bölme İşlemi

İki sayısal kesiri bölmek için, bölüneni (ilk kesir) bölenin (ikinci kesir) tersiyle çarparız. Örneğin:
=29÷83=29⋅38Tersiyle çarpın=23⋅3⋅32⋅4Payları ve paydaları çarpanlarına ayırın=23⋅3⋅32⋅4Ortak çarpanları yok edin=112I˙ç çarpım yapın\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{9}\div{\dfrac{8}{3}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{9}\cdot {\dfrac{3}{8}}&&\small{\gray{\text{Tersiyle çarpın}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD2}{\greenD3\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Payları ve paydaları çarpanlarına ayırın}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{2}}}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Ortak çarpanları yok edin}}}\\\\ &=\dfrac{1}{12}&&\small{\gray{\text{İç çarpım yapın}}} \end{aligned}
Bu yöntemi rasyonel ifadeleri bölmek için de kullanabiliriz.

Örnek 1: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, divided by, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

=3x44÷9x10=3x44⋅109xTersiyle çarpın=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xPayları ve paydaları çarpanlarına ayırın=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xOrtak çarpanları yok edin=5x36I˙ç çarpım yapın\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^4}{4}\div\dfrac{9x}{10}\\\\\\ &=\dfrac{3x^4}{4}\cdot \dfrac{10}{9x}&&\small{\gray{\text{Tersiyle çarpın}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD3\cdot \greenD{x}\cdot x^3}{\goldD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD 2\cdot 5}{\blueD3\cdot 3\cdot \greenD{x}}&&\small{\gray{\text{Payları ve paydaları çarpanlarına ayırın}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{x}}\cdot x^3}{\goldD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD{\cancel{2}}\cdot 5}{\blueD{\cancel{3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{x}}}&&\small{\gray{\text{Ortak çarpanları yok edin}}}\\\\ &=\dfrac{5x^3}{6}&&\small{\gray{\text{İç çarpım yapın}}} \end{aligned}
Her zaman olduğu gibi, kısıtlanmış değerleri düşünmeliyiz. İki rasyonel ifadeyi bölerken, aşağıdaki durumlarda bölüm tanımsızdır:
  • orijinal rasyonel ifadelerden herhangi birisini tanımsız kılan herhangi bir değer için,
  • ve böleni sıfıra eşit yapan herhangi bir değer için.
Özetlersek, start fraction, A, divided by, B, end fraction, divided by, start fraction, C, divided by, D, end fraction'nin sonucu olan ifade, B, equals, 0, C, equals, 0 veya D, equals, 0 olduğunda tanımsızdır.
Bu problemde, tanım kümesinde kısıtlama olup olmadığını belirlemek için, bölüneni ve böleni inceleyelim.
  • Bölünen start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction tüm x değerleri için tanımlıdır.
  • Bölen start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction tüm x değerleri için tanımlıdır ve x, equals, 0 için sıfıra eşittir.
Buna göre, elde edilen bölümün x, does not equal, 0 için tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz. Nihai cevabımız budur:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction, x, does not equal, 0 için

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

1) Bölün ve sonucu sadeleştirin.
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, divided by, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
, x, does not equal için
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Örnek 2: start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, divided by, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

Her zaman olduğu gibi, bölüneni bölenin tersiyle çarparız. Sonra çarpanlara ayırır, ortak çarpanları yok eder ve iç çarpım alırız. Son olarak, kısıtlanmış değerleri yazarız.
=x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10⋅x−5x+3Tersiyle çarpın=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅x−5x+3Çarpanlara ayırın=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅(x−5)x+3Ortak çarpanları yok edin=x−5x+5I˙ç çarpım yapın\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\div \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\cdot \dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{Tersiyle çarpın}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\cdot \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{Çarpanlara ayırın}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\cdot \dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{Ortak çarpanları yok edin}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{İç çarpım yapın}}} \end{aligned}
Bu problemde, tanım kümesinde kısıtlama olup olmadığını belirlemek için, bölüneni ve böleni inceleyelim. En kolay yol, bu ifadelerin çarpanlarına ayrılmış formlarını kullanmaktır.
  • Bölünen start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction x, does not equal, minus, 5, comma, 2 için tanımlıdır.
  • Bölen start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction, x, does not equal, 5 için tanımlıdır ve x, equals, minus, 3 için sıfıra eşittir.
Buna göre, elde edilen bölümün x, does not equal, minus, 5, comma, minus, 3, comma, 2, comma, 5 için tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz.
Bu nedenle, x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3 olduğunu yazmalıyız. İfadeden anlaşıldığı için, x, does not equal, minus, 5 olduğunu yazmaya gerek yoktur. Son cevabımız budur:
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction, x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3 için

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

2) Bölün ve sonucu sadeleştirin.
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, divided by, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
Sonuç ifadesinin tanım kümesinin kısıtlamaları nelerdir?
Doğru olan tüm cevapları seçin:

3) Bölün ve sonucu sadeleştirin.
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, divided by, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
Sonuç ifadesinin tanım kümesinin kısıtlamaları nelerdir?
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.