If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 6

Ders 1: Rasyonel İfadeleri Sadeleştirelim
Matematik
Cebir 2
Rasyonel İfadeler
Rasyonel İfadeleri Sadeleştirelim
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Rasyonel İfadeleri Sadeleştirelim

Google Classroom
Bir rasyonel ifadeyi sadeleştirmenin ne anlama geldiğini ve bunun nasıl yapıldığını öğrenmek ister misiniz?

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bir rasyonel ifade, iki polinomun bir oranıdır. Bir rasyonel ifadenin tanım kümesi, ifadenin paydasını sıfıra eşitleyenler hariç tüm gerçek sayıları içerir.
Örneğin, start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction rasyonel ifadesinin tanım kümesi start text, negative, 1, end text* hariç (veya x, does not equal, minus, 1) tüm gerçek sayılardır.
Eğer bu konu sizin için yeniyse, rayonel ifadelere giriş makalesine göz atmanızı öneririz.
Bu ders için, ayrıca polinomları çarpanlarına ayırmayı da biliyor olmalısınız.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu makalede, çok sayıda örneğe bakarak rasyonel ifadelerin nasıl sadeleştirileceğini öğreneceğiz.

Giriş

Eğer pay ve paydanın hiç ortak çarpanı yoksa, bu rasyonel ifade sadeleştirilmiş kabul edilir.
Rasyonel ifadeleri, sayısal kesirleri sadeleştirdiğimiz şekilde sadeleştirebiliriz.
Örneğin, start fraction, 6, divided by, 8, end fraction'in sadeleştirilmiş versiyonu start fraction, 3, divided by, 4, end fraction'tür. Hem pay hem paydadan 2 ortak çarpanını yok ettiğimize dikkat edin:
68=2⋅32⋅4Çarpanlara ayırın=2⋅32⋅4Ortak çarpanları yok edin=34Sadeleştirin\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Çarpanlara ayırın}}} \\\\ &= \dfrac{\tealD{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Ortak çarpanları yok edin}}} \\ \\ &= \dfrac{3}{4} &&\small{\gray{\text{Sadeleştirin}}} \end{aligned}

Örnek 1: start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction'i sadeleştirme

Adım 1: Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın
Pay ve paydanın ortak çarpanı olup olmadığını görmenin tek yolu, bunları çarpanlarına ayırmaktır!
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction
Adım 2: Kısıtlanmış değerleri listeleyin
Bu noktada, x'te herhangi bir kısıtlama olup olmadığını belirlemek yararlıdır. Bu kısıtlamalar, sadeleştirilmiş ifade için de geçerli olacaktır.
0 ile bölmek tanımsız olduğundan, burada start color #11accd, x, does not equal, 0, end color #11accd ve start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 5, end color #aa87ff olduğunu görüyoruz.
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, x, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
Adım 3: Ortak çarpanları yok edin
Pay ve paydada x çarpanının ortak olduğuna dikkat edin. Bu çarpan yok edilebilir.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned}\dfrac{\tealD x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealD {\cancel {x}}(x+3)}{\tealD{\cancel x}(x+5)}\\ \\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
Adım 4: Nihai cevap
Orijinal ifadenin x, does not equal, 0, comma, minus, 5 için tanımlı olduğunu hatırlayın. Sadeleştirilmiş ifade de aynı kısıtlamalara sahip olmalıdır.
Bu nedenle, x, does not equal, 0 olduğunu yazmalıyız. İfadeden anlaşıldığı için, x, does not equal, minus, 5 olduğunu yazmaya gerek yoktur.
Sonuç olarak, sadeleştirilmiş form aşağıdaki gibidir:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, x, does not equal, 0 için

Denk ifadelere ilişkin bir not

Orijinal ifade\quadSadeleştirilmiş ifade
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction\quadstart fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, x, does not equal, 0 için
Yukarıdaki iki ifade denktir. Bu, tüm olası x değerleri için bunların çıktılarının aynı olduğu anlamını taşır. Aşağıdaki tablo x, equals, 2 için bu durumu göstermektedir.
Orijinal ifade\quadSadeleştirilmiş ifade
start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff'deki değerini bulma(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2⋅52⋅7=2⋅52⋅7=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{2})^2+3(\purpleC{2})}{(\purpleC{2})^2+5(\purpleC{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleC{{2}}\cdot 5}{\purpleC{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{2}+3}{\purpleC{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}
NotSonuç, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff ortak çarpanı yok edilerek sadeleştirilmiştir.Sonuç zaten sadeleştirilmiş durumdadır, çünkü x left parenthesisburadaki durumda start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff, right parenthesis zaten sadeleştirme sürecinde yok edilmişti.
Bu nedenle, iki ifade aynı girdi için aynı değere sahiptir. Bununla birlikte, orijinal ifadeyi tanımsız kılan değerler genelde bu kuralı bozar. start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff ile durumun böyle olduğuna dikkat edin.
Orijinal ifade\quadSadeleştirilmiş ifade (kısıtlama olmaksızın)
start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff'da değerini bulma(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=tanımsız\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{0})^2+3(\purpleC{0})}{(\purpleC{0})^2+5(\purpleC{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{tanımsız}\end{aligned}0+30+5=35tanımsız\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{0}+3}{\purpleC{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\\\\\&\phantom{\text{tanımsız}}\end{aligned}
İki ifadenin tüm olası girdiler için denk olması gerektiğinden, sadeleştirilmiş ifade için x, does not equal, 0 olması gerekmektedir.

Yanlış anlama alarmı

Aşağıdaki ifadede x'leri yok edemeyeceğimize dikkat edin. Bunun nedeni, bunların polinomların çarpanları değil, terimler olmalarıdır!
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10 space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Sayısal bir örneğe baktığımızda bu netleşir. Örneğin, start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff olduğunu varsayın.
start fraction, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 3, divided by, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Bir kural olarak, sadece pay ve payda çarpanlara ayrılmış formdayken yok edebiliriz!

Sadeleştirme sürecinin özeti

  • Adım 1: Pay ve paydayı çarpanlara ayırın.
  • Adım 2: Kısıtlanmış değerleri listeleyin.
  • Adım 3: Ortak çarpanları yok edin.
  • Adım 4: Sadeleştirin ve ifadenin belirtmediği kısıtlanmış değerleri yazın.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

1) start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction'u sadeleştirin.
1 cevap seçin:

2) start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction'i sadeleştirin.
, x, does not equal
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
için

Örnek 2: start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction'yı sadeleştirme

Adım 1: Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Adım 2: Kısıtlanmış değerleri listeleyin
0 ile bölmek tanımsız olduğundan, burada start color #11accd, x, does not equal, minus, 2, end color #11accd ve start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 3, end color #aa87ff olduğunu görüyoruz.
start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
Adım 3: Ortak çarpanları yok edin
Pay ve paydada start color #01a995, x, plus, 3, end color #01a995 çarpanının ortak olduğuna dikkat edin. Bu çarpan yok edilebilir.
(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=x−3x+2\begin{aligned}\dfrac{(x-3)\tealD{(x+3)}}{(x+2)\tealD{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealD{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealD{\cancel{(x+3)}}}\\ \\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
Adım 4: Nihai cevap
Sadeleştirilmiş formu aşağıdaki gibi yazarız:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction, x, does not equal, minus, 3 için
Orijinal ifade x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3 olmasını gerektirir. İfadeden anlaşıldığı için, x, does not equal, minus, 2 olduğunu yazmaya gerek yoktur.

Anlamış olduğunuzu kontrol edin

3) start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction'i sadeleştirin.
1 cevap seçin:

4) start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction'yı sadeleştirin.
, x, does not equal
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
için

Sırada ne var?

Rasyonel ifadeleri sadeleştirmeye ilişkin ileri düzey makalemize devam edebilirsiniz; bu makalede daha zor durumlar içeren daha çok örnek bulacaksınız.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.