Ana içerik

Konu: Cebir 2 > Ünite 6

Ders 1: Rasyonel İfadeleri Sadeleştirelim

Rasyonel İfadeleri Sadeleştirelim

Bir rasyonel ifadeyi sadeleştirmenin ne anlama geldiğini ve bunun nasıl yapıldığını öğrenmek ister misiniz?

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bir rasyonel ifade, iki polinomun bir oranıdır. Bir rasyonel ifadenin tanım kümesi, ifadenin paydasını sıfıra eşitleyenler hariç tüm gerçek sayıları içerir.

Örneğin,

\frac{x + 2}{x + 1}

rasyonel ifadesinin tanım kümesi

-1

* hariç (veya

x \neq - 1

) tüm gerçek sayılardır.

Eğer bu konu sizin için yeniyse, rayonel ifadelere giriş makalesine göz atmanızı öneririz.

Bu ders için, ayrıca polinomları çarpanlarına ayırmayı da biliyor olmalısınız.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu makalede, çok sayıda örneğe bakarak rasyonel ifadelerin nasıl sadeleştirileceğini öğreneceğiz.

Giriş

Eğer pay ve paydanın hiç ortak çarpanı yoksa, bu rasyonel ifade sadeleştirilmiş kabul edilir.

Rasyonel ifadeleri, sayısal kesirleri sadeleştirdiğimiz şekilde sadeleştirebiliriz.

Örneğin,

\frac{6}{8}

'in sadeleştirilmiş versiyonu

\frac{3}{4}

'tür. Hem pay hem paydadan

2

ortak çarpanını yok ettiğimize dikkat edin:

$\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & Çarpanlara ayırın \\ = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & Ortak çarpanları yok edin \\ = \frac{3}{4} & Sadeleştirin \end{aligned}$ ‍

Örnek 1: $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍'i sadeleştirme

Adım 1: Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın

Pay ve paydanın ortak çarpanı olup olmadığını görmenin tek yolu, bunları çarpanlarına ayırmaktır!

$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

Adım 2: Kısıtlanmış değerleri listeleyin

Bu noktada, $x$ ‍'te herhangi bir kısıtlama olup olmadığını belirlemek yararlıdır. Bu kısıtlamalar, sadeleştirilmiş ifade için de geçerli olacaktır.

$0$ ‍ ile bölmek tanımsız olduğundan, burada $x \neq 0$ ‍ ve $x \neq - 5$ ‍ olduğunu görüyoruz.

$\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

Adım 3: Ortak çarpanları yok edin

Pay ve paydada $x$ ‍ çarpanının ortak olduğuna dikkat edin. Bu çarpan yok edilebilir.

$\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} \\ = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Adım 4: Nihai cevap

Orijinal ifadenin $x \neq 0, - 5$ ‍ için tanımlı olduğunu hatırlayın. Sadeleştirilmiş ifade de aynı kısıtlamalara sahip olmalıdır.

Bu nedenle, $x \neq 0$ ‍ olduğunu yazmalıyız. İfadeden anlaşıldığı için, $x \neq - 5$ ‍ olduğunu yazmaya gerek yoktur.
Orijinal ifade:
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍
Sadeleştirilmiş ifade:
$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍
$x = - 5$ ‍'in paydalardan ikisini de $0$ ‍ yapması nedeniyle geçerli bir girdi olmadığına dikkat edin. Bununla birlikte, iki ifadede de bu durum belirtilmiştir.
Bunun aksine, eğer sadeleştirilmiş ifade için $x \neq 0$ ‍ olduğunu belirtmemiş olsaydık, bu durumda $x = 0$ ‍ geçerli bir girdi olacaktı, zira $\frac{0 + 3}{0 + 5} = \frac{3}{5}$ ‍'tir.
Bu ifade $x = 0$ ‍'da hesaplandığında tanımsız olacağından (orijinal ifadeye bakınız), bu tanım kümesinden hariç tutulmalıdır.

Sonuç olarak, sadeleştirilmiş form aşağıdaki gibidir:

$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍, $x \neq 0$ ‍ için

Denk ifadelere ilişkin bir not

Orijinal ifade	‍	Sadeleştirilmiş ifade
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍, $x \neq 0$ ‍ için

Yukarıdaki iki ifade denktir. Bu, tüm olası

x

değerleri için bunların çıktılarının aynı olduğu anlamını taşır. Aşağıdaki tablo

x = 2

için bu durumu göstermektedir.

	Orijinal ifade	‍	Sadeleştirilmiş ifade
$x = 2$ ‍'deki değerini bulma	$\begin{aligned} \frac{(2)^{2} + 3 (2)}{(2)^{2} + 5 (2)} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍
Not	Sonuç, $2$ ‍ ortak çarpanı yok edilerek sadeleştirilmiştir.		Sonuç zaten sadeleştirilmiş durumdadır, çünkü $x$ ‍ $($ ‍buradaki durumda $x = 2)$ ‍ zaten sadeleştirme sürecinde yok edilmişti.

Bu nedenle, iki ifade aynı girdi için aynı değere sahiptir. Bununla birlikte, orijinal ifadeyi tanımsız kılan değerler genelde bu kuralı bozar.

x = 0

ile durumun böyle olduğuna dikkat edin.

	Orijinal ifade	‍	Sadeleştirilmiş ifade (kısıtlama olmaksızın)
$x = 0$ ‍'da değerini bulma	$\begin{aligned} \frac{(0)^{2} + 3 (0)}{(0)^{2} + 5 (0)} & = \frac{0}{0} \\ = tanımsız \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

İki ifadenin tüm olası girdiler için denk olması gerektiğinden, sadeleştirilmiş ifade için

x \neq 0

olması gerekmektedir.

Yanlış anlama alarmı

Aşağıdaki ifadede

x

'leri yok edemeyeceğimize dikkat edin. Bunun nedeni, bunların polinomların çarpanları değil, terimler olmalarıdır!

$\frac{x + 3}{x + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

Sayısal bir örneğe baktığımızda bu netleşir. Örneğin,

x = 2

olduğunu varsayın.

$\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

Bir kural olarak, sadece pay ve payda çarpanlara ayrılmış formdayken yok edebiliriz!

Sadeleştirme sürecinin özeti

Adım 1: Pay ve paydayı çarpanlara ayırın.
Adım 2: Kısıtlanmış değerleri listeleyin.
Adım 3: Ortak çarpanları yok edin.
Adım 4: Sadeleştirin ve ifadenin belirtmediği kısıtlanmış değerleri yazın.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

1) $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍'u sadeleştirin.

Adım 1: Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın

$\frac{6 x + 20}{2 x + 10} = \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)}$ ‍

Adım 2: Kısıtlanmış değerleri listeleyin

Burada $x \neq - 5$ ‍ olduğunu görüyoruz.

$\frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)}$ ‍

Adım 3: Ortak çarpanları yok edin

$\begin{aligned} \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)} & = \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)} \\ = \frac{3 x + 10}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Adım 4: Nihai cevap

Sadeleştirilmiş formu aşağıdaki gibi yazarız:

$\frac{3 x + 10}{x + 5}$ ‍

Orijinal ifade $x \neq - 5$ ‍ olmasını gerektirir. Sadeleştirilmiş ifade de $x \neq - 5$ ‍ olmasını gerektirir. Başka herhangi bir değeri kısıtlamamıza gerek yoktur.

2) $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍'i sadeleştirin.

x \neq

için

Adım 1: Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın

$\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x} = \frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)}$ ‍

Adım 2: Kısıtlanmış değerleri listeleyin

Burada $x \neq 0$ ‍ ve $x \neq \frac{5}{4}$ ‍ olduğunu görüyoruz.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)}$ ‍

Adım 3: Ortak çarpanları yok edin

$\begin{aligned} \frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)} & = \frac{x \cdot x (x - 3)}{x (4 x - 5)} \\ = \frac{x \cdot x (x - 3)}{x (4 x - 5)} \\ = \frac{x (x - 3)}{4 x - 5} \end{aligned}$ ‍

Adım 4: Nihai cevap

Sadeleştirilmiş formu aşağıdaki gibi yazarız:

$x \neq 0$ ‍ için $\frac{x (x - 3)}{4 x - 5}$ ‍

Orijinal ifade $x \neq 0, \frac{5}{4}$ ‍ olmasını gerektirir. İfadeden anlaşıldığı için, $x \neq \frac{5}{4}$ ‍ olduğunu yazmaya gerek yoktur.

Örnek 2: $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍'yı sadeleştirme

Adım 1: Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

Payı çarpanlara ayırmak için, kareler farkı formülünü kullanabiliriz:

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ‍

Dolayısıyla, aşağıdakini elde ederiz:

$\begin{aligned} x^{2} - 9 & = x^{2} - 3^{2} \\ = (x + 3) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Paydayı toplam-çarpım formülünü kullanarak çarpanlara ayırabiliriz.

$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ ‍

x^{2} + 5 x + 6

'yı çarpanlara ayırmak için,

6

'nın toplamı

5

olan çarpanlarını arayabiliriz.

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

olduğundan, bu polinom

(x + 2) (x + 3)

şeklinde çarpanlara ayrılır.

Adım 2: Kısıtlanmış değerleri listeleyin

$0$ ‍ ile bölmek tanımsız olduğundan, burada $x \neq - 2$ ‍ ve $x \neq - 3$ ‍ olduğunu görüyoruz.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

Adım 3: Ortak çarpanları yok edin

Pay ve paydada $x + 3$ ‍ çarpanının ortak olduğuna dikkat edin. Bu çarpan yok edilebilir.

$\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} \\ = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}$ ‍

Adım 4: Nihai cevap

Sadeleştirilmiş formu aşağıdaki gibi yazarız:

$\frac{x - 3}{x + 2}$ ‍, $x \neq - 3$ ‍ için

Orijinal ifade $x \neq - 2, - 3$ ‍ olmasını gerektirir. İfadeden anlaşıldığı için, $x \neq - 2$ ‍ olduğunu yazmaya gerek yoktur.

Anlamış olduğunuzu kontrol edin

3) $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍'i sadeleştirin.

Adım 1: Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ‍

Adım 2: Kısıtlanmış değerleri listeleyin

Burada $x \neq - 1$ ‍ ve $x \neq 1$ ‍ olduğunu görüyoruz.

$\frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ‍

Adım 3: Ortak çarpanları yok edin

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} & = \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \\ = \frac{x - 2}{x + 1} \end{aligned}$ ‍

Adım 4: Nihai cevap

Sadeleştirilmiş formu aşağıdaki gibi yazarız:

$\frac{x - 2}{x + 1}$ ‍, $x \neq 1$ ‍ için

Orijinal ifade $x \neq \pm 1$ ‍ olmasını gerektirir. İfadeden anlaşıldığı için, $x \neq - 1$ ‍ olduğunu yazmaya gerek yoktur.

4) $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍'yı sadeleştirin.

x \neq

için

Adım 1: Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6} = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)}$ ‍

Adım 2: Kısıtlanmış değerleri listeleyin

Burada $x \neq - 3$ ‍ ve $x \neq 2$ ‍ olduğunu görüyoruz.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)}$ ‍

Adım 3: Ortak çarpanları yok edin

$\begin{aligned} \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} & = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{x - 5}{x - 2} \end{aligned}$ ‍

Adım 4: Nihai cevap

Sadeleştirilmiş formu aşağıdaki gibi yazarız:

$\frac{x - 5}{x - 2}$ ‍, $x \neq - 3$ ‍ için

Orijinal ifade $x \neq - 3, 2$ ‍ olmasını gerektirir. İfadeden anlaşıldığı için, $x \neq 2$ ‍ olduğunu yazmaya gerek yoktur.

Sırada ne var?

Rasyonel ifadeleri sadeleştirmeye ilişkin ileri düzey makalemize devam edebilirsiniz; bu makalede daha zor durumlar içeren daha çok örnek bulacaksınız.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Cebir 2

Konu: Cebir 2 > Ünite 6

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler:

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Giriş

Örnek 1: x2+3xx2+5x‍ 'i sadeleştirme

Denk ifadelere ilişkin bir not

Yanlış anlama alarmı

Sadeleştirme sürecinin özeti

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Örnek 2: x2−9x2+5x+6‍ 'yı sadeleştirme

Anlamış olduğunuzu kontrol edin

Sırada ne var?

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Örnek 1: $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍'i sadeleştirme

Örnek 2: $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍'yı sadeleştirme