Geometrik Seriler ve Sigma Gösterimi

Son videoda bir geometrik sıradaki ya da başka bir deyişle bir geometrik dizideki, ardışık her terimin, kendinden önceki terimin sabit bir değer ile çarpımına eşit olduğunu görmüştük ve bu sabit sayıya ortak oran diyoruz. Örneğin, bu dizideki her terim, bir önceki terimin 2 ile çarpımına eşit. Yani, bu dizi için ortak oranımız 2. Sıfırdan farklı herhangi bir sayı, ortak oran olabilir. Yani negatif bir değer bile olabilir. Mesela, buna benzer bir geometrik diziniz olabilir. 1 ile başlasın ve ortak oranımız da diyelim ki negatif 3 olsun. 1 çarpı negatif 3, negatif 3'tür. Negatif 3 çarpı negatif 3, pozitif 9 eder. Pozitif 9 çarpı negatif 3, negatif 27 eder. Ve negatif 27 çarpı negatif 3, pozitif 81'dir. Ve bu şekilde devam edebilirsiniz. Bu videoda üzerinde durmak istediğim şey şu, bir geometrik sıranın ya da bir geometrik dizinin toplamı. Geometrik dizi toplamına, geometrik seri diyeceğiz. Geometrik seri. Evet, ekranı biraz aşağı kaydıralım. Şimdi geometrik seriler, yani bir geometrik dizinin toplamı hakkında konuşacağız. Örneğin, bir geometrik seri, bu dizinin toplamı olabilir. Yani, 1 artı, negatif 3 artı, 9 artı, negatif 27 artı, 81 şeklinde toplama işlemine devam etseydiniz bu bir geometrik seri olurdu. Şimdi, yaptığımız şeyi daha açık hale getirmek için aynı işlemi üstteki diziye de uygulayalım. Burada da eğer 3 artı, 6 artı, 12 artı, 24 artı, 48 şeklinde toplama işlemine devam edersek bu, yine bir geometrik seri olacaktır. Yani bu, bir geometrik sıra ya da dizinin toplamıdır. Bu toplamı genel terimlerle ya da toplam sembolünü yani sigmayı kullanarak nasıl ifade edebiliriz? Evet, görelim. İlk terimimiz her ne ise onunla başlayacağız. Eğer genel terimlerle ifade etmek istersek ilk terimimize ‘a’ diyebiliriz. İlk terimimizle başlıyoruz, a, buraya ekleyeceğimiz her ardışık terim, a'nın ortak oran ile çarpımına eşit olacaktır ve bu orana da r diyelim. Yani ikinci terimimiz, o zaman, a çarpı r olacak. Üçüncü terim için sadece bu terimle r yi çarpacağız. Yani üçüncü terim, a çarpı r kare olacak ve bu şekilde devam edebiliriz, artı a çarpı r küp gibi. Diyelim ki sonlu bir geometrik seri oluşturmak istiyoruz. O zaman bu şekilde sonsuza kadar devam edemeyiz. a çarpı r üzeri n terimini elde edene kadar toplama işlemine devam edelim. a çarpı r üzeri n. Bunu toplam sembolü ile nasıl gösterebiliriz? İsterseniz, burada videoyu durdurup bunu kendi başınıza bir deneyin. Neyse, bunu şu şekilde düşünebiliriz. Size küçük bir ipucu vereyim. Bu terimi, a çarpı r üzeri 0 olarak düşünebilirsiniz. Bunu yazalım. Bu terim, a çarpı r üzeri 0. Bu, a çarpı r üzeri 1, r'nin karesi ve r'nin küpü. Bu örüntü, bu şablon, şimdi, sizin için daha görünür olmuştur, umarım. Yani bunu toplam sembolü ile ifade edebiliriz. Buraya büyük bir toplam sembolü çizelim, şöyle büyük bir sigma. İndisimizi'0 dan başlatabiliriz. Yani, k eşittir 0'dan k eşittir n'ye kadar a çarpı r üzeri k olarak yazabiliriz. r’nin sıfırdan farklı bir ortak oran olduğu durumda, toplam sembolünü kullanarak bir geometrik seriyi belirtmenin genel yolu budur. Unutmayın, r negatif bir değer bile olabilir.