If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:3:56

Video açıklaması

Elimizde aritmetik serilerin en basiti var. Sizce, bu sayı dizisi hangisi? Tabii ki, 1 ile başlayıp, 1’er 1’er arttırdığımız dizi. 1, 2, 3 şeklinde başlayıp, n’e kadar devam ediyoruz. Şimdi de, bu dizinin toplamının ne olduğunu bulacağız. Bir dizinin toplamına nedir? Tabi ki biliyorsunuz, seri denir. Yazayım. S alt indis n, 1 artı 2 artı 3 artı devam ediyoruz ve artı n. Şimdi de bunu değişik bir şekilde yazmayı deneyeyim. S alt indis n eşittir 1 ile başlamak yerine, n’den başlayıp başa doğru geleceğiz. Yani n artı n eksi 1 artı n eksi 2 diye devam edip 1’e kadar geliyoruz. Ve şimdi de, bu ikisini alt alta toplayacağım. Sol tarafta, S alt indis n artı S alt indis n’den, 2 S alt indis n olacak. Sağ tarafta ise, bakın ne olacak. Burada 1 artı n var. n artı 1. Sonra 2 artı n eksi 1 Ve bu da n artı 1 eder, öyle değil mi? Sonra, 3 artı n eksi 2 Evet, doğru. Bu da n artı 1 ediyor. Bunun neresinin ilginç ya da güzel olduğunu tahminen anladınız. Devam edip, son terimlere geldiğimizde de, yine n artı 1 elde ediyoruz. Peki, sizce, burada kaç tane n artı 1 var? Evet, yine doğru bildiniz, n tane... Bu iki denklemde de n tane terim var. Bakın, 1, 2, 3 diye devam edip n’e kadar gidiyor. O zaman, bunu, 2 S alt indis n eşittir... n artı 1’lerden n tane olduğu için, n çarpı n artı 1 yazabiliriz. S alt indis n’i yalnız bırakmak için, iki tarafı da 2’ye bölelim. Böylece, ilk terimi 1 olan ve n’e kadar devam eden, 1’er 1’er arttırdığımız bu aritmetik dizinin toplamını, n çarpı n artı 1 bölü 2 olarak bulduk. Ve bu, gerçekten çok işe yarayan bir formüldür. Mesela diyelim ki, 1’den 100’e kadar olan sayıların toplamını bulmak isteseniz ne yapacaksınız? 100 çarpı, 101 bölü 2. Evet, bu formülle, buna benzeyen toplamların ne olduğunu bulmak son derece kolay. Ve bu noktada, belki sizin de aklınıza gelmiştir, sizin de aklınıza takılmıştır, acaba bu formülü tüm aritmetik dizilere genelleyebilir miyiz? İleriki videolarda bu konuyu işleyeceğim. Bu videonun başında da dediğim gibi, bu, çok basit bir dizi. 1’den başlıyor ve 1’er 1’er artıyor. Formülü, n çarpı n artı 1 bölü 2 olarak yeniden yazalım, Buradaki n, dizinin n’inci terimidir. 1 ise, birinci terim. Buna bakarak, bu örnekte, birinci ve sonuncu terimin ortalamasını alıp... Hemen not alayım... Burası, şöyle yapalım, evet, burası, a alt indis 1 ile a alt indis n’in ortalaması. Ve sonra da bu ortalamayı n ile çarpıyorum. Şimdi, önümüzdeki videolarda, bu durumun diğer aritmetik seriler için de doğru olup olmadığını yani dizinin toplamının, dizinin birinci ve sonuncu teriminin ortalamasının dizideki terim sayısı ile çarpımına eşit olup olmadığına bakacağız.