If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:7:50

Video açıklaması

Bu videoda ye Eşittir ikskare ile ye eşittir kökleri arasında kalan alanı alacağız ve y ekseni olmayan yani başka bir düşey doğru etrafında döndüreceğiz etrafında döndürmek istediğim doğru iki çeşittir iki doğrusu evet işte böyle döndürüleceğiz bu alanı bu şekilde döndürdüğümüzde Burada gördüğünüz şekli elde ediyoruz iç kısmını ye eşittir x kare oluşturuyor ve bu içi oyuk bir cisim döndürme sonucu elde ettiğimiz cismi Gerçekten de bu iki fonksiyon arasında kalan alan oluşturuyor bu cismin hacmini bulmaya çalışacağız ve bunu zaman zaman disk yöntemi olarak da duyabileceğiniz aslında this yönteminin bir çeşidi olan renk ya da vaser yöntemi ile yapacağız Evet dikey bir dur etrafında döndürüyoruz whirring savaşır yada Dis olarak adlandırılan bir yöntem kullanacağız dedik bunun gözümüzün önüne gelmesi için yön sağ üste dizilmiş bir sürü halka düşünün Bu yüzden de ye ye göre integral almamız gerekecek Neden bahsettiğimi daha iyi anlayabilmeniz için çizmeye çalışacağım Evet bahsettiğim halkalardan herhangi biri buna benzeyen bir halka olacak şu an halkanın 3 yarıçapını çiziyorum ve bu halka ye eşittir x kare tarafından tanımlanıyor dış Yarıçap ise buna benzeyecek Evet elimden geldiği kadar düzgün bir çizim yapmaya çalışıyorum dışarı çapta buna benzeyecek halkanın derinliğini de değeriyle göstereceğim Evet işte böyle düşey doğrultuda düşündüğümüz için bunun halkanın yüksekliği olduğunu da düşünebilirsiniz bu Halka belirli bir yere değer için elde ettiğimiz halka Mesela bu ye değerini helal alalım buradaki yüksekliği ya da derin Niğde'ye olan dikdörtgene alın ve ise 12 doğrusu etrafında döndürün bu şekilde düşündüğümüzde yeğenin aralığa dahil herhangi bir değeri için farklı bir halka oluşturabiliriz Öyle değil mi Bu şekilde bir sürü halkayı üst üste dizip halkaların hacimlerinin önce toplamını sonra da sonsuz sayıda sonsuz derecede ince halkalar elde ettiğimiz de bu toplamın limitini alarak cismin hacmini bulmuş oluruz bunu nasıl yapabileceğimizi hakkında Biraz düşünmek istiyorum yapmamız gereken şey bu halkalardan birinin y türünden hacmini bulup integralini almak integral alınca belirli bir Aralıkta ki tüm halkaların hacimlerini toplamış olacağımızı da hemen ekleyeyim Hadi bakalım halkalardan birinin hacmini bulmaya çalışalım işe bu fonksiyonları y türünden ifade ederek başlamamız lazım mor fonksiyon yani ye eşittir kök x iki tarafında karesini alırsam y kare bu x asma aslına bakarsanız bunların taraflarını değiştirirsem daha iyi olacak Evet x eşittir y kare yazayım böyle daha iyi olduk üstte kalan fonksiyon bu cismin dışını oluşturuyor Evet Bir de ye eşittir x kare var iki tarafın karekökünü alacağım Bu arada bu işlemleri yapabiliyoruz Çünkü söz konusu olan çeyrek önce çeyrek Buradan da ilk eşittir karekök içinde ye elde ederiz Evet bu da sarıyla çizilmiş olan fonksiyon Peki bu halkalardan ya da aslında bunları artık başı desem daha iyi olur Bu başarılardan bir tanesinin yüzey alanını nasıl bulabiliriz yüzey alanını turuncuyla çizdiğim için turuncuyla yazacağım buradaki va shırın yüzeyi alanı yeğenim bir fonksiyonu olarak ortasında oyuk olmayan başın yüzey alanıyla bu üç kısımdaki oyulmuş kısmının yüzey o günden farkına eşittir dışındaki dairenin yarıçapı pi çarpı dış yarıçapın karesi yazıyorum Evet exe ipi çarpı iç yarıçapını ya da şöyle yazayım yeğenin bir fonksiyonu olacak şekilde dış yarıçapın karesi Evet -1 çarpı iç yarıçapın karesi bunların hepsinin y türünden olması lazım Peki dış yarıçapı y türünden nasıl ifade edebiliriz grafik üzerinden de gösterebilirim ikisini de yapacağım dış Yarıçap şu an çizdiğim uzunluğa eşittir bu uzaklık dıştaki fonksiyonlu etrafında döndüreceğiz doğru arasındaki yatay uzaklık thresh de böyle dışta kalan fonksiyonla buradaki düşey doğru arasındaki uzaklık ilk türünden düşünürsek 2 eksi buradaki x değeri o uzaklığı verir Öyle değil mi buradaki ilk değeri de ye kareye eşittir tüm bunların y türünden olmasını İstediğimizi de unutmayın dış yarıçapın yani buradaki uzaklık 2 eksi buradaki ilk değerinin y türünden ifadesine eşit olacak ve bu ilk değeri de ye kareye eşit O halde adı yazalım 2 eksi eksi Ah pardon pardon Evet iki eksiye kar edeceğim Öyle diyeyim benzer bir mantıkla iç yarıçapı da düşey doğru ile içte kalan fonksiyon arasındaki yatay uzaklığa Yani iki eksi buradaki x değeri ne buradaki ilk değeri de yine y türünden düşünmemiz gerektiğinden kök ye ye eşittir unu da yazalım 2 eksi kök Ye onları kullanarak alan için bir ifade elde edebiliriz diye ipi çarpı şuraya yazayım pi çarpı dışarı Çapın karesi yani 12 eksiye karenin Evet karesine exe ipi çarpı iç yarıçapın karesi Yani iki eksi kök yeğenim çaresi İşte bu ifade Az önce turuncuya boyadım aşılardan birinin yüzey alanını veriyor başarılardan birinin hacmini bulmak için yüzey alanını burada gösterdiğim yükseklik ya da derinlikle çarpma mız gerekir derinlikte daha önce de gördüğümüz üzre yedeki sonsuz derece küçük bir değişim yani de ye ye eşit O halde çarpı de y3d başvurulardan birinin hacmi aralığı mızda kalan tüm başarıların hacimlerini toplarsak bunu integral ile yapacağız demiştik en tekrar var Sırların derinliği sonsuz derecede küçüldüğünde ve elimizde sonsuz sayıda başrol olduğunda limit almak ile aynı şey aralığı mızın ne olduğunu da belirleyelim şu anda daha önce görmüştük bizim için önemli olan Aralık bu fonksiyonların kesiştikleri noktalar arasında kalan Aralık olacak böyle değil mi fonksiyonların kesiştikleri noktalar ise ortak çözüme gerek kalmadan grafiği biraz dikkatlice incelersek Önemli olan Aralık y ekseni üzerinde olacağı için kesişim noktaları ye eşittir sıfır ve ye eşittir birdir Evet işte bu kadar bu şeklin hacmini bulmamızı sağlayacak integrali yazdı ve bu videoyu da burada sonlandıracak sıradaki videoda da bu integrali neye eşit olduğunu bulacağız O
AP® sınavı College Board kurumunun tescilli markasıdır ve College Board bu kaynağı kontrol etmemiştir.