Dönüm noktalarına ve bunları bulmak için diferansiyel analizi nasıl kullandığımıza ilişkin bilginizi bir daha gözden geçirin.

Dönüm noktaları nelerdir?

Dönüm noktaları (veya büküm noktaları) bir fonksiyonun grafiğinin bükeylik değiştirdiği (\cup'dan \cap'ya veya tersi) noktalardır.
Dönüm noktaları ve diferansiyel analize ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Alıştırma seti 1: Dönüm noktalarının grafiksel analizi

Problem 1.1
f grafiğinin kaç tane büküm noktası vardır?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 2: Dönüm noktalarının cebirsel analizi

Dönüm noktaları, uç değer noktalarını bulduğumuz gibi bulunur. Bununla birlikte, türevin işaret değiştirdiği yerleri aramak yerine, ikinci türevin işaret değiştirdiği noktaları ararız.
Örneğin, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, start superscript, 3, end superscript, minus, 6, x, start superscript, 2, end superscript'nin dönüm noktalarını bulalım.
f'nin ikinci türevi f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis'dir.
Önce, f, prime'ünü bulmak için f'nin türevini alırız:
=f(x)=ddx(12x4+x36x2)=12ddx(x4)+ddx(x3)6ddx(x2)=12(4x3)+(3x2)6(2x)=2x3+3x212x\begin{aligned} &\phantom{=}f'(x) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{2}x^4+x^3-6x^2) \\\\ &=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}(x^4)+\dfrac{d}{dx}(x^3)-6\dfrac{d}{dx}(x^2) \\\\ &=\dfrac{1}{2}(4x^3)+(3x^2)-6(2x) \\\\ &=2x^3+3x^2-12x \end{aligned}
Şimdi, f, start superscript, prime, prime, end superscript'ünü bulmak için f, prime'nün türevini alabiliriz:
=f(x)=ddx(2x3+3x212x)=2ddx(x3)+3ddx(x2)12ddx(x)=2(3x2)+3(2x)12(1)=6x2+6x12=6(x2+x2)=6(x+2)(x1)\begin{aligned} &\phantom{=}f''(x) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}(2x^3+3x^2-12x) \\\\ &=2\dfrac{d}{dx}(x^3)+3\dfrac{d}{dx}(x^2)-12\dfrac{d}{dx}(x) \\\\ &=2(3x^2)+3(2x)-12(1) \\\\ &=6x^2+6x-12 \\\\ &=6(x^2+x-2) \\\\ &=6(x+2)(x-1) \end{aligned}
x, equals, minus, 2, comma, 1 için f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0'dır ve her yerde tanımlıdır. x, equals, minus, 2 ve x, equals, 1 sayı doğrusunu üç aralığa böler:
O aralıkta pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu görmek için, f, start superscript, prime, prime, end superscript'nün her aralıktaki değerini bulalım.
Aralıkx değerif, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesisKarar
x, is less than, minus, 2x, equals, minus, 3f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0f içbükeydir \cup
minus, 2, is less than, x, is less than, 1x, equals, 0f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0f dışbükeydir \cap
x, is greater than, 1x, equals, 2f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0f üçbükeydir \cup
f'nin grafiğinin hem x, equals, minus, 2'de hem de x, equals, 1'de bükeylik değiştirdiğini görebiliyoruz, dolayısıyla f bu x değerlerinin ikisinde de dönüm noktalarına sahiptir.
Problem 2.1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 4, x, start superscript, 3, end superscript, minus, 18, x, start superscript, 2, end superscript
Hangi x değerleri için g grafiğinin bir büküm noktası vardır?
Geçerli tüm cevapları seçin:
Geçerli tüm cevapları seçin:

Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.