Dönüm noktalarının bir daha gözden geçirilmesi

Dönüm noktaları (veya büküm noktaları) bir fonksiyonun grafiğinin bükeylik değiştirdiği ($\cup$\cup'dan $\cap$\cap'ya veya tersi) noktalardır.

Dönüm noktaları, uç değer noktalarını bulduğumuz gibi bulunur. Bununla birlikte, türevin işaret değiştirdiği yerleri aramak yerine, ikinci türevin işaret değiştirdiği noktaları ararız.

Örneğin, $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+x^3-6x^2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, cubed, minus, 6, x, squared'nin dönüm noktalarını bulalım.

$f$f'nin ikinci türevi $f''(x)=6(x-1)(x+2)$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis'dir.

$x=-2,1$x, equals, minus, 2, comma, 1 için $f''(x)=0$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0'dır ve her yerde tanımlıdır. $x=-2$x, equals, minus, 2 ve $x=1$x, equals, 1 sayı doğrusunu üç aralığa böler:

O aralıkta pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu görmek için, $f''$f, start superscript, prime, prime, end superscript'nün her aralıktaki değerini bulalım.

$f$f'nin grafiğinin hem $x=-2$x, equals, minus, 2'de hem de $x=1$x, equals, 1'de bükeylik değiştirdiğini görebiliyoruz, dolayısıyla $f$f bu $x$x değerlerinin ikisinde de dönüm noktalarına sahiptir.