If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:20:31

Video açıklaması

Türev, çukurluk yönü, maksimum, minimum ve büküm noktaları hakkında bildiklerimizi kullanarak, hesap makinesi kullanmadan bir fonksiyonun grafiğini çizelim. f x eşittir 3 x üzeri 4 eksi 4 x küp artı 2. Birkaç nokta bularak da fonksiyon grafiği çizebiliriz, Ama öncelikle, özellikle ilginç noktaları bulmalıyız. Bu noktaları ve grafiğin genel şeklini bulmak için, türev becerilerimizi kullanabiliriz. İlk yapmamız gereken şey, kritik noktaları belirlemek. Şuraya kritik noktalar diye yazalım. Kritik noktalarda türevin 0 olduğunu hatırlayalım.f üssü x'in 0 veya tanımsız olduğu noktalar. Bu fonksiyon her yerde türevli gibi görünüyor, dolayısıyla, kritik noktalarda f üssü x, 0' a eşit olacak. f üssü x, tüm reel sayılar için tanımlı olacak. Şimdi türevi bulalım.f üssü x'i bulmak kolay. 3 x üzeri 4'ün türevi, 4 çarpı 3 eşittir 12, 12 x üzeri, 4 'ü 1 azaltalım, 3.Tamam. Üsle çarpıp, üssü 1 azaltıyoruz. Eksi 3 çarpı 4 eşittir 12, çarpı x üzeri, 3 eksi 1, eşittir 2. Şimdi, sabitin türevi, sabitin eğimi, 0.Çünkü değişmiyor. Sabit, tanımı gereği, zaten değişmez. İşte, f üssü x.Şimdi, kritik noktaları bulalım.Kritik noktalar.. Kritik noktalarda ne idi türev 0 veya tanımsızdı. Bu türevin tüm reel sayılar için tanımlı olduğunu biliyoruz. Buraya hangi sayıyı koyarsak koyalım, işe yarayacak yani şimdi bir fonksiyon değeri elde ederiz. Türev her yerde tanımlı olduğuna göre, nerede 0 olduğuna bakalım. f üssü x eşittir 0.Bu denklemi çözelim. 12 x küp eksi 12 x kare eşittir 0. Nasıl çözebiliriz, bakalım. 12 x'i dışarı alalım.12 x yerine 12 x kareyi dışarı alalım hatta. 12 x kareyi dışarı alalım. Bu ikisini 12 x kareye bölersek, bu terim x olur, ve eksi 12 x kare bölü 12 x kare 1 olur, eşittir 0. Üsttekini böyle yazdım. Bu işlemin tersini yapsaydım, yani 12 x kareyi paranteze dağıtsaydım, yine türevi tekrar elde edecektim. Denklemi çözmek için, ifadeyi çarpanlarına ayırmam gerekiyor. Denklemin 0'a eşit olması için, bu veya öteki ifade 0'a eşit olmalı. 12 x kare eşittir 0 ise, x eşittir 0.Veya, denklemin 0'a eşit olması için, x eksi 1'in 0 olması gerekiyor. x eksi 1, 0 ise, x 1'e eşittir. Buna göre, 2 kritik nokta var. x eşittir 0 ve x eşittir 1. Kritik noktalarda türevin 0 olduğunu hatırlayalım.Eğim 0. Maksimum, minimum veya büküm noktası olabilir, henüz bilmiyoruz. Yani henüz ne tip nokta olduklarını söyleyemiyoruz, ama bizim için önemli noktalar olduklarını biliyoruz. Şimdi çukurluğu inceleyelim. Böylece grafiği daha iyi anlayabiliriz. Bunun için ikinci türevi bulalım. Fonksiyonun ikinci türevi, 3 çarpı 12 eşittir 36 x kare eksi 24 x. Birkaç şey yapabiliriz. İkinci türevi bulduğumuza göre, bu noktalarda çukurluğun aşağı mı yukarı mı yani aşağı doğru mu, yukarı doğru mu olduğunu anlayabiliriz. Kritik noktalardaki çukurluk yönüne bakalım. Sonrasında, nasıl bir bütün oluşturduğunu göreceksiniz. Hatırlarsanız, yukarı doğru çukurluk, U şeklini veriyordu.U gibi görünüyordu. Aşağıya doğru çukurluk da, ters U gibi idi. x 0'a eşit olduğunda, f'nin ikinci türevi kaç olur? 36 çarpı 0 kare, eksi 24 çarpı 0.Yani 0. f'nin ikinci türevi 0. Çukurluk ne yukarı, ne de aşağı doğru , diyebiliriz.Burası bir geçiş noktası olabilir.Veya olmayabilir. Eğer bir geçiş noktası ise, elimizde bir büküm noktası var, demektir. Ama bundan da henüz emin değiliz. Şimdi, x eşittir 1 için, f'nin ikinci türevini bulalım.36 çarpı 1 kare 36 eksi 24 çarpı 1.Yani, 36 eksi 24, oda eşittir 12.İkinci türev pozitif. İkinci türevin 12 olması demek, birinci türevin artıyor olması demektir. Eğimin artış hızı pozitif. Buna göre, bu noktada çukurluk yukarı doğru. Bu da, bu noktanın minimum olduğunu gösteriyor, öyle değil mi? Eğim burada 0, ama yukarı doğru çukurluk var.Bu bayağı ilginç. Potansiyel büküm noktası var mı, bakalım. Bunun potansiyel bir büküm noktası olduğunu biliyoruz. Evet kırmızı ile yuvarlak içine alayım.Potansiyel büküm noktası. Çukurluğun değişik değişmediğini bilmiyoruz. Bazı denemeler yapalım şimdi.Ama, önce, başka büküm noktası veya potansiyel büküm noktası var mı, bakalım. Bu türevin 0'a eşit olduğu başka bir nokta var mı, diye bir bakalım. 36 x kare eksi 24 x eşittir 0.Denklemi çözelim. 12 x'i dışarı alalım. 12 x çarpı 3 x, evet 3 x çarpı 12 x eşittir 36 x kare. Eksi 2,eşittir 0. Bu iki ifade birbirine denk.Bunu dağıtırsak, şuradaki ifadeyi elde ederiz. Bu 0'a eşitse, ya 12 x 0'a eşittir. Bu, bize x eşittir 0 sonucunu verir. x 0'a eşit ise, bu da 0 olur. Burada ikinci türev 0. Bunu biliyoruz, çünkü bu sayıyı daha evvel denemiştik. Veya, bu ifade 0'a eşit ise, ikinci türev 0 olur. Bunu da yazalım.Yani, 3 x eksi. 2 eşittir 0. İki tarafı toplarsak, 3 x eşittir 2 elde ederiz.x eşittir 2 bölü 3. Bu da yeni bulduğumuz potansiyel büküm noktası. İkinci türevi 0 olduğu için, büküm noktası olma ihtimali var. İkinci türeve 2 bölü 3 koyunca, 0 elde ediyoruz. Şimdi yapmamız gereken, ikinci türevin 2 bölü 3'ün iki tarafında pozitif mi, negatif mi olduğunu belirlemek. Bir iki sayı deneyebiliriz. 2 bölü 3'ten büyük x değerleri için, ikinci türevin nasıl olduğuna bakalım. 2 bölü 3'e yakın bir değer deneyelim.Tekrardan yazayım şurayı. f'nin ikinci türevi,Şöyle yazayım.Böyle de, bu şekilde işlem yapmak daha kolay. 12 x çarpı, 3 x eksi 2. x, 2 bölü 3'ten büyükse, bu terim pozitif olacak. Pozitif bir sayı çarpı 12 pozitif olacak. Peki, bu terimne ne olacak? 3 çarpı 2 bölü 3, eksi 2 eşittir 0, öyle değil mi? 2 eksi 2. 2 bölü 3'ten büyük bir sayı koyarsak, yani 2.1 bölü 3 bile koysak, sonuç yine sonuç pozitif olacak. 2 bölü 3'ten büyük bir x değeri, bu ifadeyi pozitif yapar. Öyle değil mi? Bu ifade, pozitif olacak. x 2 bölü 3'ten büyükse, ikinci türev pozitif olacak. 0'dan büyük olacak. Yani, 2 bölü 3'ten büyük x değerleri için, çukurluk yukarı doğru. Zaten, x eşittir 1 için, yukarı doğru çukurluğu bulmuştuk. Peki, x 2 bölü 3'ten küçükse, ikinci türev nedir? Baştan yazalım. f'nin ikinci türevi eşittir, 12 x çarpı, 3 x eksi 2. Soldan bir değer alırsak, negatif bir sayı çıkacak. Ama, 2 bölü 3'ten az küçük bir sayı koyarsak, hala pozitif kısımdayız. Örneğin, 1.9 bölü 3 veya 1 bölü 3, şurası hala pozitif. 2 bölü 3'e yakın bir sayı, pozitiftir. 12 çarpı pozitif bir sayı. Peki, burada ne oluyor? 2 bölü 3 için, ikinci türev 0. 2 bölü 3'ten küçük bir sayı deneyelim. Mesela, 3 çarpı, 1 bölü 3 eşittir 1. 1 eksi 2, negatiftir. x, 2 bölü 3'ten küçük olduğunda, bu ifadenin sonucu negatif olacak. Yani, x, 2 bölü 3'ten küçük ise, ikinci türev de 0'dan küçük. 2 bölü 3'ün solunda, ikinci türev negatif, 2 bölü 3'ün sağında ikinci türev pozitif olduğu için, büküm noktası var, diyoruz. x eşittir 2 bölü 3, kesinlikle o zaman büküm noktası. Bir başka büküm noktası adayı daha var, ondan sonra grafiğimizi çizmeye hazırız. Büküm noktalarını, maksimum ve minimumları bulduktan sonra, fonksiyonun grafiğini çizmeye hazırsınız, demektir. x eşittir 0'ın büküm noktası olup olmadığına bakalım şimdi. 0'daki ikinci türevin 0 olduğunu biliyoruz. Peki, 0'ın sağında ve solunda, ikinci türev için ne diyebiliriz? Denememizi, testimizi yapalım. x 0'dan büyükse, ikinci türev için ne diyebiliriz? İkinci türev eşittir, 12 x çarpı, 3x eksi 2. Böyle yazmak, bence, daha iyi. Çünkü iki lineer ifadenin çarpımı olarak ifade etmiş olduk. Bu ifadelerin pozitif mi, negatif mi olduğunu görebiliyoruz. x 0'dan büyükse, burası pozitif. Bu terim için ise, 0'a yakın bir değer almamız lazım. Örneğin 0.1'i deneyelim. 0'dan biraz büyük bir sayı.0'dan büyük tüm x değerleri için, bu doğru olmayabilir. 0'ı az geçtiğimizde, ne olduğunu test etmek istiyoruz. 0.1 0.3 olur, 0.3 eksi 2. Bu da negatif bir sayıdır, öyle değil mi? x 0'ı geçtiğinde, bu şey burası ifade negatif olur. x 0'dan büyükse, ikinci türev 0'dan küçük olur.Grafik, yani aşağı doğru çukur. Bu durum mantıklı, çünkü çukurluğun yönünün belli bir noktada değiştiğini biliyoruz.Hatırlarsanız, 2 bölü 3 öncesinde, grafik aşağı doğru çukur, öyle değil mi? Yani, bulduklarımız tutarlılı. 0'dan 2 bölü 3'e aşağı doğru çukur, 2 bölü 3'ten sonra, yukarı doğru çukur. Şimdiyse, x 0'dan azıcık küçük olduğunda, ne olduğunu görelim. f'nin ikinci türevi, 12 x çarpı, 3 x eksi 2. x eksi 0.1 veya eksi 0.0001 olsa, bu ifade negatif olur. 12 x, 12 çarpı negatif bir sayı, negatiftir. Sonra, bu ifade ne olacak? Pekala, 3 çarpı, eksi 0.1 eşittir eksi 0.3. Eksi 2 eşittir, eksi 2.3. Burası negatif oluyor.Bu değer, negatif olacak, ve negatiften çıkardığınız için, sonuç kesinlikle negatif olacak. Bu da negatif olacak Negatif çarpı negatif ise, pozitif verir. Yani, 0'dan biraz küçük x değerleri için, ikinci türev pozitif. Biraz karışık gelmiş olabilir, ama şimdi ektiklerimizi biçeceğiz. Tüm ilginç noktaları bulduk. x eşittir 1'i şuraya yazalım. x eşittir 1'de eğimin 0 olduğunu bulduk. Eğim 0. Birinci türevi 0'a eşitleyerek, bu değeri bulmuştuk değil mi?. Ve bu, bir kritik nokta idi. Ve, bu noktada, çukurluğun yukarı doğru olduğunu biliyoruz.Buna göre, nokta minimum olacak. Grafiği çizebilmek için, ama iki koordinatı da bulmamız lazım. Zaten videonun amacı da bu. f 1 neye eşit? Baştaki fonksiyona dönelim. 3 çarpı 1 üzeri 4, 3 çarpı 1, eksi 4 artı 2, öyle değil mi? 3 çarpı 1, eksi 4 çarpı 1, bu eksi 1'e eşit, artı 2. Sonuç, artı 1. Yani, f 1 eşittir 1 x eşittir 0 için, eğimin 0 olduğunu bulmuştuk. Aynı zamanda, bu noktanın büküm noktası olduğunu da bulmuştuk. Öncesi ve sonrasında, çukurluk yönü değişiyor. Yani, bu, büküm noktası. 0'dan önce, yukarı doğru çukur.İkinci türev de pozitif. x 0'dan büyükse, aşağı doğru çukur. 0'ın az üstünde sayılar için, aşağı doğru çukur, tüm pozitif x değerleri için değil. Bu noktayı da düzlemde göstermek istiyoruz. O nedenle, f 0 nedir, bulalım. f 0'ı bulmak kolay. 3 çarpı 0 eksi 4 çarpı 0 artı 2, eşittir 2. Yani f 0 eşittir 2 imiş. Bir de x eşittir 2 bölü 3 var. x eşittir 2 bölü 3. Bunun da büküm noktası olduğunu bulmuştuk. Eğim burada 0 değil, çünkü kritik noktaların arasında bu nokta yoktu. x 2 bölü 3'ten küçükse, çukurluğun aşağı doğru olduğunu biliyoruz. x 2 bölü 3'ten büyükse, çukurluğun yukarı doğru olduğunu da biliyoruz. İkinci türev pozitif ve çukurluk yukarı doğru. Şimdi, f 2 bölü 3'ü bulalım.Bu biraz karışık olacak.Sanıyorum, grafiği çizmemiz için, bu değeri bulmamız şart değil. Bu ana kadar bulduklarımızla da, gayet güzel bir grafik çizebiliriz.Şimdi çizelim. Eksenlerim böyle.0, 2 noktasını gösterelim. x eşittir 0 ve, yukarı doğru, 1, 2. 0, 2 noktası bu.İşte bu nokta Sonra da, şu noktamız var. f 1, yani 1, 1, Yani, şu nokta. 1, 1 noktası. 0, 2 noktası da burada. Bir de, büküm noktası olan x eşittir 2 bölü 3 var. f 2 bölü 3'ün değerini tam olarak bulmasak da, şurada diye tahmin edebiliriz. 2 bölü 3. f 2 bölü 3. f 2 bölü 3, 1 nokta bir şey olacak. Fonksiyona koyarak, isterseniz değerini bulabilirsiniz Neyse, grafiği çizmeye hazırız. x eşittir 1 için, eğimin 0 olduğunu biliyoruz.O zaman burada düzleşiyor. Ve, çukurluğun yukarı doğru olduğunu biliyorum. O zaman, bu aralıkta, grafik şöyle olacak. Yukarı doğru çukurluk. 2 bölü 3'ten sonra da çukurluğun yukarı doğru olduğunu biliyoruz, öyle değil mi? 2 bölü 3'ten büyük x değerleri için, grafik yukarı doğru çukur. O nedenle, bu U şeklini çizebiliriz evet konuşamıyorum yine. Ayrıca biliyoruz ki, x 0'la 2 bölü 3 arasındaysa, çukurluk aşağı doğru. Yani, grafik, bu aralıkta, şöyle çizilebilir. Aşağı doğru çukur. Evet düzgün çizeyim. Bu aralıkta eğim azalıyor.Teğetleri çizerseniz, bunu görebilirsiniz. Burada yatayımsı, negatif oluyor, ve daha negatif. Büküm noktasından sonra, tekrar artmaya başlıyor. Çünkü, çukurluk yönü, yukarı dönüyor. Son aralık ise, 0'dan küçük sayıları kapsıyor. Yukarı doğru çukurluk yine var burada. Yani, grafik şöyle olacak. Ayrıca, x eşittir 0'ın kritik nokta olduğunu biliyoruz.Yani, grafik burada düzleşiyor. Bu, eğimin 0 olduğu bir büküm noktası.İşte, grafiğimizin son hâli.Soruyu bitirdik. Analiz becerilerimizi, büküm noktası ve çukurluk yönü bilgimizi kullanarak, bu karışık grafiği çizebildik. Hesap makinenizde çizmeyi denerseniz de, aşağı yukarı aynı grafiği elde edeceksiniz.
AP® sınavı College Board kurumunun tescilli markasıdır ve College Board bu kaynağı kontrol etmemiştir.