Analiz Kullanarak Grafik Çizme (Örnek 2)

Diyelim ki, fonksiyonumuz, f x eşittir, x üzeri 4 artı 27'nin doğal logaritması. Birinci ve ikinci türevlerini alıp, bildiğimiz teknikleri kullanarak, hesap makinesiz bir şekilde grafiğini çizmek istiyoruz. Zamanımız kalırsa, grafikli hesap makinesiyle cevabımızı kontrol de ederiz. Başlangıç olarak, bunun birinci türevini alalım.Şuraya yazayım.f'nin türevi. İçerinin türevini alıyoruz, yani 4x küp, ve dışarının türeviyle çarpıyoruz. x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x. Yani, içerideki ifadeye göre bunun türevi eşittir, çarpı 1 bölü, x üzeri 4 artı 27. Bunu karışık bulduysanız, zincir kuralı videolarını tekrar izleyin. Tavsiyem.. Bu, fonksiyonumuzun birinci türevi. Bunu tekrardan şöyle yazabiliriz: 4 x küp, bölü x üzeri 4 artı 27. Veya şöyle yazarım: 4 x küp çarpı, x üzeri 4 artı 27, üzeri eksi 1. Bu üç ifade de, denktir. Çarpım şeklinde, bunu eksi üslü veya kesir olarak yazabilirim. Hepsi, birbirine denktir. Şimdi de ikinci türevi bulalım. İkinci türev biraz daha karışık olacak.İkinci türev, bunun türevi. Çarpım kuralını kullanalım. Birinci ifadenin türevi çarpı ikinci ifade. Birinci ifadenin türevi, 3 kere 4 12. 12 x kare, 3'ü 1 eksiltiyoruz. Çarpı ikinci ifade, x üzeri 4 artı 27, üzeri eksi 1. Ve buna birinci ifade, 4 x küp, çarpı ikinci ifadenin türevini ekliyoruz. İkinci ifadenin türevi. İçerinin türevi, 4 x küp, 27'nin türevi 0, yani çarpı 4 x küp, çarpı, bunun tamamının içteki ifadeye göre türevi. Yani, çarpı, üssü indiriyoruz, çarpı eksi 1, çarpı x üzeri 4 artı 27, üzeri, bunun 1 eksiği, yani eksi 2. Bakalım bu ifadeyi biraz sadeleştirebilicek miyiz? Burası, 12 x kare, bölü x üzeri 4 artı 27. Şimdi, çarparsak, burada bir eksi olacak. Bunları çarpalım, 4 kere 4, 16. 16 x küp, çarpı x küp eşittir x üzeri 6, bölü bunun karesi.Bölü, x üzeri 4 artı 27, kare. Bunu yazmanın bir başka yolu, öyle değil mi? Eksi 2'inci kuvveti, artı 2'nci kuvvet olarak paydaya koyarız.İkisi aynı şey. Bu tip soruları önceden gördüyseniz, 0'a eşitleyeceğimizi bilirsiniz.Ve oluşan denklemi çözeriz. Bu nedenle, bunu tek kesir olarak ifade etmek daha faydalı.Ortak paydaya alabiliriz. Yani, bu ifadenin hem payını, hem de paydasını, x üzeri 4 artı 27 ile çarpabilirim. Ve o zaman ne elde ederim? Birinci ifadeyi x üzeri 4 artı 27'yle çarparsak, 12 x kare çarpı x üzeri 4 artı 27 çıkar.Ve, paydada da x üzeri 4 artı 27, kare olur. Pay ve paydayı x üzeri 4 artı 27 ile çarpmış oldum.İfadenin değerini değiştirmedim. Şimdi de ikinci terime bakalım.Eksi 16 x üzeri 6 bölü , x üzeri 4 artı 27, kare. Niye bu işlemleri yaptık? Ortak payda bulduğuma göre, payları toplayabilirim. Neye eşit olacak, bakalım. Paydanın x üzeri 4 artı 27, kare olduğunu biliyoruz.Bu, paydamız. Şimdi bunları çarpalım. 12 x kare çarpı x üzeri 4. Bu, 12 x üzeri 6, artı 27 çarpı 12. 27 ile şimdi 12 yi çarpmak istemiyorum, öylece yazayım. Artı 27 çarpı 12 x kare. Eksi 16 x üzeri 6. Bunu bence daha da sadeleştirebilirim. x üzeri 6 hem burada hemde şurada. 27 çarpı 12 x kare ve eksi 16 x üzeri 6 artı 12 x üzeri 6. Bu ikisini toplayınca, eksi 4 x üzeri 6, bölü x üzeri 4 artı 27, kare. Bu da ikinci türevimiz.Ve şimdi türevleri bulduk. Türevleri biraz karışıkmış. Şimdi o zaman birinci ve ikinci türevlerin ne zaman 0'a eşit olduğunu bulabiliriz. O zaman kritik nokta ve büküm noktası adaylarını bulacağız. Öncelikle birinci türevin ne zaman 0'a eşit olduğunu bulalım ve kritik noktaları elde edelim. Belki de türev tanımsızdır.Belki de bu, 0'a eşit. Bunun 0'a eşit olması için, payın 0 olması gerekir. Payda ise, tüm reel x sayıları için, pozitif olmalı.Çünkü, üssü çift. Burası 0 olamaz, öyle değil mi, çünkü negatif olmayan bir sayıya 27 eklenmiş. O zaman, bu 0 olamaz. Bu demektir ki, türev hiçbir zaman tanımsız değil. Türevin tanımsız olduğu kritik nokta yok. Ama, payı kolaylıkla 0'a eşitleyebiliriz. Bunu 0'a eşitlersek, 4 x küp eşittir 0, deriz. Ve, x eşittir 0 buluruz. 4 çarpı bir şeyin küpü eşittir 0. O zaman bu şey, 0 olmalı. f üssü 0 eşittir 0. 0 kritik nokta. 0 kritik nokta.0'daki eğim, 0. Maksimum mu, minimum mu, büküm noktası mı henüz bilmiyoruz. Biraz daha inceleyelim.y koordinatını da bulalım. x koordinatı 0 ve y de 27'nin doğal logaritması. Hesap makinesiyle kaç olduğunu bulayım.Daha önce grafikli hesap makinesi kullanmayacağım demiştim ama. Basit bir hesap makinesi kullanabilirim. 27'nin doğal logaritması için, kısaca 3.3 diyelim. Şimdi grafiğin genel şeklini kestirmeye çalışıyoruz. 3.3 2.9 deyip de devam edebilirdiniz.Kritik nokta burada. Eğim burada 0. x eşittir 0'da eğim 0. Şimdi de büküm noktası adaylarını bulalım. Büküm noktası adaylarının ikinci türevinin 0 olduğunu hatırlayalım.İkinci türevin 0 olması, kesin olarak büküm noktası olmasını gerektirmez.Bunu açıkça belirtelim. x'te büküm noktası varsa, ikinci türev x'te 0 olacak.Çünkü, çukurluk yönü değişecek.Eğim ya artandan azalana geçecek, veya azalandan artana geçecek. Ama, ikinci türev 0'sa, büküm noktası olduğu sonucuna varamazsınız. İkinci türevin 0 olduğu tüm noktaları bulacağız ve ikinci türevde işaretin değişip değişmediğine bakacağız. İşaret değişiyorsa, büküm noktası diyebiliriz. Şimdi bu dediğimizi bir de gerçekleştirelim. İkinci türevin 0 olması, büküm noktası için yeterli değil. İkinci türev sıfır olmalı ve o x'in solunda ve sağında, ikinci türev işaret değiştirmeli.Ancak o zaman, büküm noktası diyebiliriz. f'nin ikinci türevi, x civarında işaret değiştiriyorsa, x'te büküm noktası vardır, diyebiliriz. Eğer tabi ikinci türev x civarında işaret değiştiriyorsa, o zaman x'te 0 olacak demektir. Ama, solunda negatifse, sağında pozitif olacağını, veya solunda pozitifse, sağında negatif olacağını görmeniz gerekir. Şimdi bunu deneyelim. İlk bulmamız gereken, aday noktalar.Adaylarımız.. Aday noktalarda, ikinci türevin 0 olması gerektiğini hatırlayın. Bu noktaları bulacağız ve işaretin değişip değişmediğine bakacağız. Bunun nerede 0'a eşit olduğunu bulmak istiyoruz. Yine, pay 0'a eşit olmalı.Payda sıfır olamaz. Şimdi, ikinci türevin payının ne zaman 0 olduğunu bulalım. 27 çarpı 12 x kare eksi 4 x üzeri 6 eşittir 0. Bu, ikinci türevimizin payı. Payı 0 yapan x değeri, ikinci türevi de 0 yapıyor, demektir. 4 x kareyi dışarı alalım.4 x kare. 4'ü 12'den dışarı alırsak, 27 çarpı 3, x kareyi de dışarı aldık, eksi x üzeri 4, eşittir 0. Denklemi sağlamak için, ya 4 x kare 0 olacak, veya 27 çarpı 3'ü kafadan bulurum. 81. 20 çarpı 3, 60. 3 kere 7, 21. 60 artı 21 eşittir 81. Veya, o zaman 81 eksi x üzeri 4 eşittir 0. Bu ifadelerden birini 0 yapan x, denklemi sağlar. Çünkü bu 0 ise, tamamı 0'a eşit olacak. Bu 0'sa, tamamı sıfır olacak.Şimdi bunu çözelim. x 0 olduğunda, bu da 0 olur. İki tarafa x üzeri 4 eklersek, x üzeri 4 eşittir 81. İki tarafın karekökünü alırsak, x kare eşittir 9 elde ettik. Yani, x eşittir 3 veya eksi 3. Bunlar, büküm noktası adayları, x eşittir 0, artı 3 yada eksi 3. Şimdi, büküm noktası diyebilmek için, ikinci türevin bu noktalar etrafında işaret değiştirip değiştirmediğine bakacağız. x 0'dan biraz küçük ise, ikinci türevin işareti ne olur? Tüm durumlara bakalım. x 0'dan biraz küçük ise, ne olur? x eşittir 0.1 ise, ikinci türev nedir? x eşittir 0.1 veya eksi 0.1 için, bu terim pozitif olacak. Bu da, 81 eksi 0.1 üzeri 4 Bu, küçük bir sayı, öyle değil mi? Yani, pozitif bir sayı çarpı, 81 eksi küçük bir sayı.Yani, pozitif olacak. Buna göre, x 0'dan biraz küçük ise, ikinci türev pozitif. x biraz büyük ise, ne olacak? 0'ın az altında demek istiyorum. x 0'ın az üstündeyse, ne olur? Örneğin, x eşittir 0.01 veya x eşittir 0.1. İşaret aynı kalacak, öyle değil mi? İki sayının da karesini ve dördüncü kuvvetini alıyoruz. Yani, işaret kayboluyor. x 0.1 ise, bu, küçük pozitif bir sayı olacak. 81'den çok küçük bir pozitif sayı çıkaracağız, ama 81 eksi küçük bir sayı, hala, pozitif olacak. Yani, pozitif çarpı pozitif. İkinci türev, yine, sıfırdan büyük olacak.. Burada ilginç bir şey var.x eşittir 0'da ikinci türev 0, ama büküm noktası yok. Çünkü, dikkat ederseniz, çukurluk değişmedi. 0'a sağdan ve soldan yaklaşırken, ikinci türev pozitif. İki taraftan 0'a yaklaşırken, grafiğimiz yukarı doğru çukur. 0'ın kritik nokta olması ve iki taraftan yaklaşırken çukurluğun yukarı doğru olması, bize 0'ın minimum nokta olduğunu gösteriyor. 0 civarında yukarı doğru çukurluk olduğu için, 0 büküm noktası değil. Şimdi, artı ve eksi 3'ün büküm noktası olup olmadığına bakabiliriz. Sadece ikinci türevin payını kullanıyordum. İkinci türevin tamamı, burada. Ama, paydayı yok sayıyordum, çünkü payda hep pozitif. Yani, ikinci türevin pozitif veya negatif olduğunu anlamak için, sadece payın pozitif veya negatif olduğuna bakmak yeterli. Çünkü, buradaki ifade hep pozitif. Yani bir şeyin karesi olduğu için hep pozitif olacak. Şimdi, artı veya eksi 3'ün etrafında, çukurluğun değişip değişmediğini test edelim. İkinci türevimizi tekrar yazayım. Payı burada. 4 x kare çarpı 81 eksi x üzeri 4. Payda ise, x üzeri 4 artı 27, kare. Evet ikinci türevimiz böyleydi. Şimdi, ikinci türevin işaretinin , artı ve eksi 3 civarında, değişip değişmediğine bakacağız. Aslında, artı veya eksi 3'ü koyunca, sonuç farketmez, çünkü x üzeri 4 veya x kare alınca, işaret kayboluyor. Bir şeyin dördüncü kuvveti ve karesi, biliyorsunuz hep pozitif olacak. Yani, testimiz, 3 için ne ise, eksi 3 için de aynı şey olacak Şimdi deneyelim. x 3'ten biraz küçük olursa, ikinci türevin işareti ne olur? 4 çarpı pozitif bir sayı olacak. Yani x 2.999 gibi olabilir, ama bunun sonucu, hala, pozitif. Yani, x 3'e yaklaşırken, burası pozitif. Şurası da , x 3 ise, 0'a eşit. Ama, x 3'ten biraz küçük. Mesela x 2.10000 ile 2.9999 gibi bir şey ise, bu sayı 81'den küçük olacak. Ama, yine de pozitif. Ve, payda hep pozitif. Buna göre, x 3'ten küçük ise ve 3'e soldan yaklaşıyorsa, grafiğimiz yukarı doğru çukur. Bu, pozitif olacak. f'nin ikinci türevi, 0'dan büyük.Yukarı doğru çukur. x 3'ten biraz büyükse, peki ne olacak? Birinci terim, hala, pozitif. Ama, , x 3'ten büyükse, x üzeri 4, 81'den biraz büyük olacak. Yani, ikinci terim negatif olacak. x 3'ten büyükse, bu negatif olacak.Çünkü, burası 81'den büyük olur. O zaman, bu negatif, bu da pozitif ise, türev negatif olacak. Çünkü, payda hala pozitif. Yani, f'nin ikinci türevi, 0'dan küçük ve grafik, aşağı doğru çukur. Bir tane daha kaldı.x eksi 3'ten biraz büyük olduğunda ne olur? Yani, mesela eksi 2.100000 ile 2.99999 gibi bir sayı olsa? Eksi 2.99'un karesini aldığınızda, pozitif bir sayı elde edersiniz. Yani, bu pozitif olacak. Eksi 2.99'un dördüncü kuvvetini aldığınızda da, yine 81'den biraz küçük bir sayı elde edeceksiniz, öyle değil mi? 2.99 üzeri 4, 81'den biraz küçük. O nedenle, bu da pozitif olacak. Yani pozitif çarpı pozitif bölü pozitif .Yine yukarı doğru çukurluk var, çünkü ikinci türev 0'dan büyük.Yukarı doğru çukur. Ve son olarak, x eksi 3'ten biraz küçükse, Hatırlarsanız, bunu yazdığımda, tabi eksi 3'ten küçük tüm x'leri kastetmiyorum. Ama başka bir notasyon aklıma gelmiyor şimdi. Şimdi, eksi 3'e soldan yaklaşırsak, örneğin eksi 3.11'i alırsak? Veya eksi 3.01, daha iyi, veya 3.1? Bu terim yine pozitif olacak. Eksi 3.1'in dördüncü kuvvetini alırsak, 81'den büyük olacak, öyle değil mi? İşaret pozitif olacak ve 81'den büyük olacak. Yani, bu negatif olacak. Bu durumda, pozitif çarpı negatif bölü pozitif, ikinci türevimiz negatif olacak. Grafik aşağı doğru çukur olacak. Artık grafiği çizmeye hazırız. Öncelikle eksi ve artı 3, büküm noktaları mı? Elbette. 3'e soldan yaklaşırken, yukarı doğru çukur. 3'ten geçerken, ikinci türev 0. 3'ün sağına geçtiğimizde, aşağı doğru çukur. İkinci türevimizin işareti değişti. x eşittir 3, kesinlikle bir büküm noktası. Aynı şeyi eksi 3 için de söyleyebiliriz. 3'ten geçerken işaret değişiyor. Yani, bunlar büküm noktaları. Koordinatları tam olarak bulmak için f 3 ve f eksi 3'ü hesaplayalım. Ondan sonra, grafiği çizmeye tam olarak hazır olacağız. Öncelikle, f 0 eşittir 3.29'un minimum olduğunu biliyoruz. 0 kritik noktaydı, eğimi 0'dı. Ve, 0 civarında, grafik yukarı doğru çukurdu. Dolayısıyla, 0 büküm noktası değil. Eksi 3 ve artı 3'ün büküm noktası olduğunu biliyoruz. y koordinatlarını bulmak için bu fonksiyon değerlerini hesaplayalım. y koordinatları aynı olacak, çünkü eksi ve artı 3'ün dördüncü kuvvetleri aynıdır. Bu koordinatı bulalım. 3 üzeri 4 eşittir 81. 81 artı 27 eşittir 108, ve bunun doğal logaritmasını bulmak istiyoruz. Yaklaşık olarak 4.7 diyelim. 4.7 Eksi 3 veya 3 farketmez, çünkü dördüncü kuvvetini aldık. Yani 4.7, 4.7.Bu ikisi de büküm noktası. Ve şimdi grafiği çizmeye hazırız! Çizelim bakalım. Eksenleri çizeyim y ekseni. x ekseni. Bu y, isterseniz f x ekseni de diyebilirsiniz Bu x. 0, 3.29 noktası.Evet. 3'ün biraz üstünde, şurada. Bu, minimum nokta.Eğim burada 0, çünkü birinci türevin 0 olduğunu bulmuştuk. Demek ki, bu bir kritik nokta ve çukurluğu yukarı doğru. Bu da bize minimum olduğunu söylemişti zaten. Ve, artı 3. 3, 4.7 4.7 de şöyle bir şey.Büküm noktası. Öncesinde, çukurluk yukarı doğru ve sonrasında, aşağı doğru. Şöyle bir şeye benzeyecek. Bu noktaya kadar, yukarı doğru çukur.Şurayı sileyim. 1, 2, 3. 3, 4.7 şöyle, ve eksi 3, 4.7, oda aynı buna benziyor 1, 2, 3, 4.7 . 0'da eğimin 0 olduğunu biliyoruz ve grafiğimiz yukarı doğru çukur.Yani, şeklimiz şöyle olacak. x eşittir 3'e kadar yukarı doğru çukur.x eşittir 3'te çukurluk aşağı doğru olarak değişiyor. Elimden geldiğince şimdi bir iyi çizmeye çalışayım şurada güzel bir şekilde. Sonra, eksi 3'ten 0'a kadar, grafik, yukarı doğru çukur.Yine eksi 3'te aşağı doğru çukur olarak değişiyor. Buradaki aşağı doğru çukurluk, tam şurada. Ve 0 etrafında da, yukarı doğru çukur.Burası yukarı doğru çukur. Burası da yukarı doğru çukur.Burası da yukarı doğru çukur. 0 etrafında, yukarı doğru çukur.Grafiğin böyle görüneceğini düşünüyorum. x'in sonsuza veya eksi sonsuza gitmesi durumuna girmeyeceğim.Şimdi, grafikli hesap makinesi kullanarak, bir sağlamasını yapalım, bakalım doğru çizmiş miyiz. Hesap makinemde çizelim. y eşittir, x üzeri 4 artı 27'nin doğal logaritması.Grafiğini çizmek istiyorum. Nefesler tutuldu.Ve gayet iyi! Neredeyse, bizim çizdiğimizle aynı. Demek ki, yaptığımız işlemler doğruymuş Gurur verici bir an, umarım, siz de, şimdi fonksiyon grafiği çiziminde büküm noktalarının, birinci ve ikinci türevin faydasını takdir etmeye başlamışsınızdır. Hoşçakalın..