Newton, Leibniz ve Usain Bolt

Gördüğünüz bu resim, ünlü İngiliz matematikçi ve fizikçi Isaac Newton'a ait. Sağda da ünlü ama Newton kadar ünlü olmayan filozof ve matematikçi Gottried Leibniz'in bir resmi var. Leibnitz, Newton'ın çağdaşı. Yani aynı devirde yaşamışlar. Bu iki adam kalkülüsün kurucularıydı ve en önemli çalışmalarını 1600'lerin sonlarında gerçekleştirmişlerdi. Burada da Usain Bolt var.Evet hepiniz tanıyorsunuzdur. Jamaika'lı sprinter ve bu aralar formunun bayağı zirvesinde. 2012 yılında, bugün için yeryüzündeki en hızlı insan.Hatta gelmiş geçmis en hızlı insan da denebilir. Aralarında hemen ortak özellik bulamamış olabilirsiniz ama aslında hepsi diferansiyel kalkülüsün temel sorularında birini kafaya takmış durumdalar soru şu: bir şeyin anlık değişme hızı Usain Bolt ne kadar hızlı koşuyor? Son bir saniyedeki ortalama hızı ya da gelecek on saniyedeki ortalama hızı değil. Tam şu an, şu saniye ne kadar hızlı koşuyor? Soru bu. İşte diferansiyel kalkülüs bundan, yani anlık değişim oranından ibaret. buraya yazalım.. Newton'ın Diferansiyel kalkülüs için bulduğu terim "fluksiyon yöntemi"dir, Evet süslü bir kelime. Ama önemli olan o anda ne olduğu, yani anlık şeyler.Yapacağımız şeyin cebirle neden kolayca çözülemediğini şimdi size bir grafik çizerek anlatacağım. Evet bu eksen üzerinde y eşittir mesafe diyelim,Evet, y eşittir mesafe dedik şimdi zamanı yazalım, zaman için de x diyelim, x eşittir zaman. Eğer Usain Bolt'un mesafesini zamana oranlarsak, 0'dayken henüz hareket etmemiş, yani şu çizdiğim noktada duruyor olur ki hepiniz Bolt'un 100 metreyi 9,58 saniyede koşabildiğini biliyorsunuz. Bu mor noktanın da 9. saniye olduğunu varsayalım, bu noktada 100 metreyi koşmuş olacak, yarışı bitirmiş olacak. Bu bilgiyi kullanarak da Bolt'un ortalama hızını bulabiliriz. Ortalama hızı da: mesafedeki değişim bölü zamandaki değişimdir değil mi? Elimizdeki değişkenleri kullanalım: y; mesafe, x de zaman olduğuna gore y bölü x yazabiliriz. Bu notadan o noktaya x'de olan değişiklikler size cebirden de tanıdık gelecektir. Şu çizdiğim iki noktanın arasındaki çizgi ise eğim. İki noktayı bağlayan bir çizginiz varsa, bu çizgiye eğim diyebiliriz. Mesafedeki değişimi buraya yazalım. y eşittir 100m. Zamandaki değişimi de buraya yazalım, yani x eşittir 9,58 saniye. 0'dan başlayıp, 9,58 saniyeye ilerlemiş olduk. Bunu dikey değişim bölü yatay değişim diye de yazabiliriz. Bu terimleri cebir dersinizde de duymuşsunuzdur eminim. 100 m bölü 9,58 sn diye hesaplayayalım. Evet 100 bölü 9,58 Eğim de kısaca, bu iki nokta arasındaki değişim oranı oluyor ya da ortalama değişim oranı da denebilir. Evet takip ettiyseniz buradaki birimlerin hız birimlerini olduğunu farketmişsinizdir evet. Yönü de belirleseydik vektörel hızını da vermiş olacaktık. Hesap makinesini çıkarayım ve kaç olduğunu bulalım şimdi. Evet.. hesap makinesini ekrana açıyorum 9,58 saniyede 100 metre koşmuş, evet böldüğümüzde yaklaşık olarak 10.4 ediyor evet yaklaşık 10.4, birimler de metre bölü saniye bu da ortalama hızı olur. Bizim bulacağımız şey ise, ortalama hızın anlık hızdan farklı olup olmadığı, verilen herhangi bir zamanda koşulan hızdan farklı olup olmadığı. Yani ne kadar hızlı olduğunu görmek adına hesap makinesini yeniden çıkaralım ve metre bölü saniye cinsinden olacak bu, Bolt'un saatte kaç metre gittiğini hesaplamak istiyorsak da bakalım ne oluyor. Bir saatte 3600 dakika olduğuna göre, demin bulduğumuz rakamla çarparız. Yani Bolt 3600 kere bu rakam kadar koşacak. Yani Bolt bir şekilde hızını bozmadan bir saat koşmaya devam edebilse, ki zor birşey saatte yapacağı hız budur. Eğer saatte kaç mil gidebileceğini sorarsanız da, tam olarak emin değilim ama, sonuç kabaca 1600 gibi bir şey olur herhalde yani bir milde 1600 metre var. O zaman 1600 le bölelim. 23 civarlarında bir şey çıkıyor.23'den biraz fazla birşey çıkıyor. Yani yarım milde 23 metre. Bu da yaklaşık olarak şöyle yazalım.. yaklaşık olarak 23.5 mil bölü saat Evet yan tarafa geçeyim 23.5 mil bölü saat evet. Bir arabaya gore çok hızlı değil ama tabi bana gore çok hızlı. 23.5 m bölü saat evet bayağı hızlı koşuyor arkadaşımız değil mi. ? Bunun anlık hızdan farkını anlamak için de mesafeyle zaman ilişkisini düşünelim. Bolt başladığı an en hızlı haliyle başlamış olmayacak. Yani silah ateşlendiğinde daha anca hızını almaya başlıyor olacak. Bir anda 23 mille koşmaya başlamayacak Önce hızlanması gerekecek. Başta biraz daha yavaş koştuğu için eğimi, ortalama eğimden biraz daha aşağıda olacak. Yani daha yavaş başlayacak ve gittikçe hızlanacak. Eğim de aynı şekilde gittikçe daha dik olacak yani gittikçe daha da yukarı çıkacak. Sonlara doğruda belki yorulmaya başlayacak ve o zaman da eğim biraz düzleşecek. Kısaca Bolt'un koşusu, zamanla hızının ilişkisi böyle bir şey olacak. Burada hesapladığımız şey, zamandaki değişimin ortalama eğimi. Eğimin sürekli değiştiğini koşunun her saniyesinde görebiliriz. Başta daha yavaş bir değişim oranı var. Bolt Hızlandıkça, mesafedeki değişim oranı kabaca, ya da buna tanjant çizgisinin eğimi olarak da bakabilirsiniz. Bu nokta ortalamadan daha yüksek ve yine yavaşlamaya başladığında ortalaması saatte 23.5 mil olacak. Bu arada öğrendiğime göre Usain Bolt'un anlık hızı, hatta anlık hızının zirvesi, demek daha doğru olur saatte 30 mile yakın. O zaman buradaki eğim de saatte 23 mil ya da şöyle bir şeyler olması lazım ama koştuğu 9,58 saniyedeki en hızlı anı saatte 30 mile yakın. Çok da kolay bir hesap değil Siz de yaklaşık eğimi bulmaya çalışabilirsiniz. Önce Y'deki değişim bölü X olarak yazıp şu an size gösterdiğim gibi X'deki değişime karşı, Y'deki değişim ne kadar olur? Evet, eğim bu şekilde bulunabilir ama sonuç kesin değil tahmini olacaktır çünkü burada da gördüğünüz gibi eğim sürekli değişiyor. Bize asıl yardımcı olacak şey X'deki değişimin giderek azalmasıdır o zaman çok daha kesin bir sonuç elde edebiliriz. Y'deki değişim de gittikçe azalmaya başlayacak. İşi daha da derinlemesine çalışarak daha da dikkatli bir şekilde çalışacak olursak limiti, delta X sıfıra yaklaşırken alabiliriz. Delta X, yani Y'deki değişim bölü X'deki değişim bu şekilde, anlık değişim oranına yaklaşmış olacağız buna ayrıca eğrinin anlık eğimi ya da eğrinin o noktadaki tanjantının eğimi de denebilir. Kalkülüs terminolojisini kullanacak olursak da buna türev diyebiliriz. Yani, anlık eğim türevdir. Türevin gösterim biçimi de dy bölü dx'dir Y harfini en başta bu yüzden saklamıştım. Peki bunun "diferansiyel" kelimesiyle nasıl bir bağlantısı var? Dx ve Dy diferansiyeldir. Bunu anlamanın bir diğer yolu da, Y'deki ve X'deki son derece küçük değişimlerdir. Y'de ya da X'de çok çok küçük değişimlerle anlık eğimi bulabilirsiniz. Bu örnekte de Usain Bolt'un anlık hızı tam şu gösterdiğim noktada bulunabilir. Buraya ise öyle istediğimiz gibi sıfır yazamayız sıfırla çarpılan her şey sıfırdır, eğer X'deki değişime sıfır dersek, sonuç tanımsız olur. Yani sıfırla bölemeyiz ama sıfıra yaklaşınca, limitini alırız. Bir sonraki videolarda limiti detaylı bir biçimde anlatacağım. Hoşçakalın..