If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:4:53

Video açıklaması

x eşittir a noktasında, kırmızıyla çizdiğim eğriye teğet olan doğrunun eğimini bulacağız. Türevin tanımını işlerken bunu nasıl yapabileceğimizi görmüştük. Daha doğrusu, bize herhangi bir noktadaki teğetin eğimini veren genel bir fonksiyondan bahsetmiştik. Şimdi gelin, bu fonksiyonu yeniden oluşturalım. Önce, burada rastgele bir x değeri belirlememiz gerekiyor. Bu noktadan eğriye çıktığımızda, x virgül f(x) noktasına geliriz. Bir de, x artı h değeri belirleyelim. Evet, bu nokta da, x artı h virgül f(x) artı h olsun. Şimdi, bu iki noktadan geçen kesenin eğimini bulmak istersek, ne yapmamız gerekiyor? Dikey eksendeki değişimi, yatay eksendeki değişime bölmemiz! Peki, dikey eksendeki değişim nedir? f(x) artı h eksi f(x). Yatay eksendeki değişim de, x artı h eksi x olur. Evet, x artı h eksi x’teki x’ler birbirini götürür ve geriye h kalır. Burada gördüğünüz fonksiyon, bu 2 nokta arasındaki eğimdir. Güzel. Peki, x’teki teğetin eğimini bulmak için ne yapabiliriz? Bu fonksiyonun, h sıfıra giderken, limitini alabiliriz. Bakın, h’nin değeri sıfıra yaklaştıkça, bu nokta, x’e doğru hareket eder ve bu iki noktadan geçen kesenin eğimi de, x noktasındaki teğetin eğimine yaklaşır. İşte bunun için, bu fonksiyon, f üssü x’tir. Evet, bu fonksiyon, x’in bir fonksiyonu olduğu için, vereceğiniz herhangi bir x değerini alıp buraya koyabilirim. Hatta, sonuç cebirsel ve net bir sonuç olursa, size cevap olarak bir sayı bile verebilirim. Mesela, f üssü a’yı hesaplamak isterseniz, x yerine a yazmanız yeterli. Limit, h sıfıra giderken, f(a+h), a yazacağım yerleri şimdilik boş bırakıyorum, eksi f(a) bölü h. Evet, a’yı da kırmızıyla yazarsak, Oldu. Ne yaptığımı tekrarlıyorum, x gördüğüm yere a yazdım ve f’in a değerindeki türevini buldum. Evet, x eşittir a için, teğetin eğimini bulmanın yollarından biri bu. Bir diğeri de, türevin alternatif formu olarak adlandırılan ve a noktasındaki türevi direkt olarak doğrudan almamızı sağlayan yoldur. Gelin, buna da bakalım. Bu, a virgül f(a) noktası. Burada, yine rastgele bir x değeri belirliyorum. Buna göre, bu nokta da, x virgül f(x) olur. Bu iki noktadan geçen kesenin eğimini, az önceki gibi, dikeydeki değişim bölü yataydaki değişim olarak yazabiliriz. Yani f(x) eksi f(a), bölü x eksi a. a noktasındaki teğetin eğimini bulmak için, ya da bu teğetin eğimine en yakın değeri elde etmek için, bunun, x, a’ya giderken limitini alırız. Neden? Çünkü, x, a’ya yaklaştıkça, bu kesenin eğimi de, a noktasındaki, kırmızıyla çizdiğim teğetin eğimine yaklaşacak. Evet, bunun, x, a’ya giderken limitini alacağız. Bu iki yolda da ya da tanımda da, iki formülde de, artık ne derseniz, aslında aynı şeyi yapıyoruz. 2 noktadan geçen kesenin eğimi için bir fonksiyon bulup, noktaları birbirine yaklaştırarak, teğetin eğimine en yaktn sonucu elde etmeye çalışıyoruz. Limit değerinde de, kesenin eğimi, teğetin eğimine eşit oluyor. Zaten türevin tanımı da bu. Burada, türevi x’in bir fonksiyonu olarak ifade ettik. İstediğiniz x değerini bu fonksiyona koyup, sonucu bulabilirsiniz. Burada da, yani alternatif formda da, eğer sadece a noktasındaki türevi bulmak istiyorsanız, bir fonksiyona ihtiyacınız olmayacağından, bu methodu kullanabilirsiniz. Önemli olan, ikisinin de aynı şeyi yaptığını bilmeniz.
AP® sınavı College Board kurumunun tescilli markasıdır ve College Board bu kaynağı kontrol etmemiştir.