Kalkülüs: Türev 2 (Yeni)

Son videomuzda bir eğrinin belirli bir noktadaki eğimini bulmaya denedik. Bunu yaparken de birbirine çok yakın iki noktanın arasındaki eğimi bulmuştuk. Yani sonuç olarak sekant doğrusunun eğimini elde etmiştik. Bu denklem zor gözükse de aslında bu ifade asıl noktamıza çok yakın olan diğer noktanın y değerini temsil etmekte ve bu da asıl noktamızın y değerini göstermektedir. Yani kısaca bu sizin y değerleri arasındaki değişiminiz. Bu değişimi de x eksenindeki değişime böleriz. Yaptığımız örnekte h değeri, seçtiğimiz iki x değerimiz arasındaki fark. Bu mesafeye h dedik. Bu da bize doğrunun eğimini verdi. Sonra da limit kullanarak bu noktayı bu noktaya yaklaştırdık. Eğer bu nokta, bu noktaya yakın olursa eğimimiz bu noktaya tanjant olan doğrunun eğimine eşit olur. Buna da o fonksiyonun türevi deriz. Bunu f in x deki türevi olarak adlandırıyoruz. Bakalım bu videoda bunu uygulayarak anlattığım şeylerin kafanıza oturmasını sağlayabilecek miyiz? Şimdi bir tane yapalım. Önce belirli bir noktadaki eğimi bulmayı deneyelim. Şimdi eksenlerimi tekrar çizeyim ve buraya da fonksiyonumuzu çizelim; denklemimiz y eşittir x kare olsun. Bu benim y eksenim, bu da x eksenim ve x in 3 olduğu noktadaki eğimi bulmak istiyorum.Bir noktadaki eğimden bahsettiğimde aklınıza direk o noktaya tanjant olan doğrunun eğimi gelsin. Tanjant doğrusunun buradan bu şekilde geçerek grafiğe sadece şu noktada değdiğini düşünelim. Fakat tanjant doğrusunun eğimi nedir? Tanjant doğrusunun eğimi grafiğimizde seçtiğimiz noktanın eğimiyle aynıdır. Bu eğimi bulmak için daha önce kullandığımız denklemi kullanacağım; böylece fonksiyondaki bütün noktaların eğimini bulmak için genel bir ifade bulmuş olacağım ve her nokta için tekrardan hesap yapmak zorunda kalmayacağım. Şimdi başka bir nokta daha seçelim, bu noktaya da 3 artı Δx diyelim. Bu sefer "h" yerine Δx dedim çünkü ikisiyle de karşılaşma ihtimaliniz var. Bazı yerlerde "h" bazı yerlerde de Δx diyeceğim. İki gösterimi de bilseniz iyi olur. İlk olarak buradaki noktanın koordinatları nedir? Elimizde y eşittir x kare fonksiyonu var; f(x) eşittir x kare ifadesine x için 3 ü yerleştirdiğimizde y değerini yani 9'u buluruz. Buradaki noktanın koordinatı 3'e,9 dur. Peki, buradaki noktanın koordinatı nedir? Yani 3 artı Δx noktasından yukarı çıkarsam grafiğe geldiğimde hangi koordinat üzerinde olurum? Bu noktanın x koordinatını 3 artı Δx olacaktır. Aslında denklemimizde x artı h dediğimiz şeyle aynı, sadece h yerine artı h yerine artı Δx diyoruz. Buna 3 artı h da diyebilirdim.Ama şimdilik buna 3 artı Δx diyoruz. Peki, y koordinatı ne olacak? Noktanın y değerini bulmak için x değerini fonksiyonumuza yerleştireceğiz, yani x değeri neyse onun karesini alacağız. O zaman 3 artı Δx'in karesini bulmamız lazım. Şimdi bu sekant çizgisinin eğimini bulalım. Grafiği biraz daha yakından inceleyelim, bizim ihtiyacımız olan kısım bu kısım. Burada ve burada birer noktam var; eksenimizi, yani sekant doğrumuzu da çizelim. Buradaki nokta 3'e, 9 noktası ve buradaki noktanın x koordinatı ise 3 artı Δx, yani 3'ten daha büyük bir sayı ve bu sayının karesi alınacak, 3 artı Δx'in karesi. Bu işlemin sonucu nedir? İşlemi kısaca yapacağım, siz bunu a artı b'nin karesi eşittir a kare artı 2 ab artı b kare kuralıyla da hesaplayabilirsiniz. Sonuç olarak cevap 9 artı bunların çarpımlarının 2 katı yani 6Δx artı Δx'in karesi. Bu da ikinci noktanın y koordinatı oluyor. Yaptığımız karmaşık görünebilir ama sadece x değerimizi yani 3 artı Δx'in karesini aldım çünkü denklemimiz y eşittirx karedir. Sekant doğrusunun eğimi, y'deki değişim bölü x'deki değişim olacak. Y'deki değişim buradakinin y değeri yani 9 artı 6Δx artı Δx kare eksi bunun y değeri yani eksi9 olacak. Bu y'deki değişimimiz. Bunu x'deki değişimimize bölmek istiyoruz. Peki x'deki değişiminiz ne? Bu soruyu tamamladığımızda, mantıken çok doğru olduğunu göreceksiniz. Yukarıdaki noktanın koordinatıyla başladık o yüzden de x'deki değişimi bulurken ilk bu noktanın x değerini yazacağız. Yani 3 artı Δx başta olacak. Sonra da alttaki noktanın x koordinatını yani 3'ü çıkaracağız. Eksi 3. Bu işlemin sadeleşmiş hali ne oluyor bakalım. Bu 9'lar birbirini götürür.Paydaya bakalım. Burada da 3 ve eksi3 birbirlerini götürür. X'deki değişim aslında Δx olur ki bu insana zaten mantıklı geliyor çünkü Δx aslında bu değerin bu değerden ne kadar büyük olduğunu gösteriyor. O zaman bu mesafe xdeki değişim olmalı, yani Δx. Sekant çizgimin eğimi 6 çarpı x'in değişimi artı x'teki değişimin karesi bölü x'teki değişime sadeleşti. Bu ifade daha da sadeleşebilir. Farklı bir renkle yazayım. Paydaki ifadeyi Δx ortak parantezine alırsak elimizde Δx parantez içinde 6 artı Δx olur. Pay ve payda sadeleşir. Sekant çizgimin eğimi de 6 artı Δx olur. 6 artı Δx buraya çizdiğim kırmızımsı çizginin yani sekantın eğimidir. Eğer x değerlerim 3 ve 4 olsaydı, Δx'im yani x'teki değişimim 1 olacaktı. O zaman eğimim 6 artı Δx yani 6 artı 1'den 7 olacaktı. Δx'im ne olursa olsun şimdi elimdeki genel formülden dolayı 3 ve 3 artı Δx arasındaki eğimi bulabilirim. Şimdi, biz tam bu noktadaki eğimi bulmak istiyoruz. Bakalım Δx gitgide küçüldüğünde ne olacak. Δx bu mesafe. Ama eğer Δx biraz daha azalırsa sekant doğrusu bunun gibi gözükür. Mesafeyi daha da küçültürsek sekant doğrusu böyle görünür. Kısaca, Δx'i küçülttükçe Tanjant doğrusu eğimine gittikçe yaklaşıyoruz. Tanjant doğrusu buraya çizdiğim ve eğimini bulmak istediğim doğru. Şimdi Δx'imiz 0'a yaklaşırken limiti neymiş onu bulalım. Formülümüzü yazalım, limit Δx sıfıra yaklaşırken 6 artı Δx kaç olur. . Gördüğünüz gibi çok açık bir limit bu. Δx'i 0 'a eşitlerseniz cevabı bulursunuz, yani eşittir 6. x, 3'ken tanjantımızın eğimi 6'ya eşittir. Başka bir şekilde söylemek gerekirse; biliyoruz ki bu fonksiyonun 3 noktasındaki türevi, ya da 3 noktasındaki tanjant doğrusunun eğimi 6 'ya eşittir, unutmayın sadece x eşittir 3'ü biliyoruz. Şunun altını çizmek isterim ki hala fonksiyonumuzun grafiğindeki herhangi bir noktanın eğimini bulmak için genel bir ifade yazmadım maalesef. Bunu bulmayı bir sonraki videomda göstereceğim.