Ana içerik

AP®︎/Üniversite Kalkülüs AB

Konu: AP®︎/Üniversite Kalkülüs AB > Ünite 3

Ders 1: Zincir Kuralına Giriş

Zincir kuralının bir daha gözden geçirilmesi

Türevler için Zincir kuralına ilişkin bilginizi bir daha gözden geçirin ve problemler çözün.

Zinci kuralı şunu söyler:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Bu bize başka iki (daha basit) fonksiyonun bileşkesi olan fonksiyonların türevini nasıl alacağımızı söyler—içteki

g (x)

fonksiyonu ve dıştaki

f (x)

fonksiyonu.

Zincir kuralı ile hangi problemleri çözebilirim?

Zincir kuralı sadece bileşke fonksiyonlar (

f (g (x))

şeklinde yazılabilen fonksiyonlar) için geçerlidir. Dolayısıyla, doğal olarak, zincir kuralını kullanabilmek için anahtar becerilerden birisi, bileşke fonksiyonları tanıyabilmektir. Eğer bir fonksiyon bileşke fonksiyon değilse, zincir kuralını kullanamayız.

Örneğin,

h (x) = (5 - 6 x)^{5}

şu şekilde düşünülebilir:

h (x) = \underset{dıştaki}{\underset{⏟}{(\overset{içteki}{\overset{⏞}{5 - 6 x}})^{5}}}

burada, içteki ve dıştaki fonksiyonlar bunlardır:

\begin{aligned} g (x) & = 5 - 6 x & içteki fonksiyon \\ f (x) & = x^{5} & dıştaki fonksiyon \end{aligned}

Bir bileşke fonksiyonla uğraştığımız için, zincir kuralını kullanarak türev alabiliriz. Ancak, zincir kuralını uygulamadan önce, içteki ve dıştaki fonksiyonların türevlerini bulalım (yapılan işlemler gösterilmemiştir):

\begin{aligned} g^{'} (x) & = - 6 \\ f^{'} (x) & = 5 x^{4} \end{aligned}

Şimdi, zincir kuralını uygulayalım:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [f (g (x))] \\ = & f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \\ = & 5 (5 - 6 x)^{4} \cdot - 6 \\ = & - 30 (5 - 6 x)^{4} \end{aligned}

Yaygın yanlışlar

Zincir kuralını uygularken öğrencilerin sık yaptığı üç hata aşağıda verilmiştir:

Çarpımlar ile bileşkeleri karıştırmak: Özellikle transandant fonksiyonlarda (yani trigonometrik ve logaritmik fonksiyonlar), öğrenciler genelde

\ln (x) \sin (x)

gibi çarpımları

\ln (\sin (x))

gibi bileşkelerle karıştırır. Zincir kuralı sadece fonksiyon bileşkeleri için geçerlidir; çarpım kuralını sadece çarpımlar için kullanmalıyız.

İçteki fonksiyonun türeviyle çarpmayı unutma: Yukarıdaki örnekte biz

g^{'} (x)

ile çarptık, ancak çoğu öğrenci bu adımı unutur. Yani, bazı öğrenciler

f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

yerine

f^{'} (g (x))

'i hesaplar.

$f^{'} (g^{'} (x))$ ‍'i hesaplama: Eğer çok dikkatli değilseniz, yanlışlıkla

f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

yerine

f^{'} (g^{'} (x))

'i hesaplayabilirsiniz.

f^{'} (x)

'in içinde olması gereken fonksiyonun

g (x)

olması gerektiğine (

g^{'} (x)

değil) dikkat edin.

Ek örnekler

\tan (x^{2})

'nin türevinin alınmasını düşünün. Eğer

u (x) = x^{2}

v (x) = \tan (x)

ise, bu durumda

\tan (x^{2}) = v (u (x))

olduğuna dikkat edin. Bileşke bir fonksiyonla uğraştığımız için, zincir kuralını uygulayabiliriz.

\begin{aligned} \frac{d}{d x} (\tan (x^{2})) \\ = \frac{d}{d x} [v (u (x))] & Böyle olsun: u (x) = x^{2}, v (x) = \tan (x) \\ = v^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x) & Zincir kuralı \\ = \sec^{2} (x^{2}) \cdot 2 x \\ = 2 x \sec^{2} (x^{2}) \end{aligned}

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Problem 1

\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos (x)}] = ?

Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmaya göz atın.

Tablolarla örnekler

Bize bu değerler tablosunun verilmiş olduğunu varsayın:

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍
$- 2$ ‍	$5$ ‍	$- 1$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍
$4$ ‍	$- 4$ ‍	$- 2$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

H (x)

f (g (x))

olarak tanımlanmıştır ve bizden

H^{'} (4)

'ü bulmamız istenmiştir.

Zinci kuralı bize

H^{'} (x)

'in

f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

olduğunu söyler. Bu,

H^{'} (4)

'ün

f^{'} (g (4)) g^{'} (4)

olduğu anlamına gelir. Şimdi, tablodan değerleri fadeye koyalım:

\begin{aligned} H^{'} (4) & = f^{'} (g (4)) \cdot g^{'} (4) \\ = f^{'} (- 2) \cdot 8 & g (4) = - 2, g^{'} (4) = 8 \\ = 1 \cdot 8 & f^{'} (- 2) = 1 \\ = 8 \end{aligned}

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Problem 1

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 1$ ‍	$9$ ‍	$- 1$ ‍	$- 5$ ‍	$- 6$ ‍
$2$ ‍	$3$ ‍	$- 1$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

G (x) = f (h (x))

G^{'} (2) =

Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmaya göz atın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.