Çözümlü Örnek: Zincir Kuralıyla √(3x²-x)'in Türevini Alma

Bu videoda, size zincir kuralını anlatacağım ve sonra da bir örnek üzerinde nasıl uygulandığını birlikte göreceğiz. Evet, iki fonksiyonun bileşkesi olan bir fonksiyon tanımlayarak başlayalım. Bunu, f(g(x)) diyelim. Tekrar edelim, iki fonksiyonun bileşkesi olan bir fonksiyon tanımladık. Şimdi de, bu fonksiyonun x’e göre türevini alacağız. Zincir kuralına göre, bu ifadenin türevi, dıştaki fonksiyonun içteki fonksiyona göre türevi, yani f'(x) değil; g(x), çarpı, içteki fonksiyonun x’e göre türevi, yani g'(x)'tir. Evet, şu ana kadar her şey tamam. Formülü de anladık ama nasıl uygulayacağımızı henüz bilmiyoruz. Gelin, hemen bir örnek yapalım. Diyelim ki, karekök içinde 3 x kare eksi x’in türevini almak istiyoruz. Şimdi, bu ifadeyi öyle bir hale getirmemiz lazım ki, tanımlayacağımız f ve g fonksiyonlarından bir bileşke fonksiyon elde edebilelim. f(x)’i karekök içinde x; g(x)’i de 3 x kare eksi x olarak tanımlarsam, f(g(x)) ne olur? Renkleri doğru kullanmaya çalışıyorum... Burada, x gördüğümüz yere, g(x)’i koyarsak, karekök içinde g(x), g(x)’in yerine de 3 x kare eksi x yazarsak, karekök içinde 3 x kare eksi x elde ederiz. Gördünüz değil mi? f(x)’i bu şekilde, g(x)’i de bu şekilde tanımlayarak, buradaki fonksiyonu elde ettik. Şimdi sıra, zincir kuralını uygulamakta. f'(g(x)) yani, f’in g(x)’e göre türevi nedir? Önce f üssüne bakalım. Bu, x üzeri 1 bölü 2’ye eşit olduğu için, 1 bölü 2 çarpı x üssü, 1 bölü 2’den 1 çıkarsa, eksi 1 bölü 2 kalır. Peki, f'(g(x)) ne olur? x gördüğümüz yere g(x)’i koyalım ve 1 bölü 2 çarpı g(x) üzeri eksi 1 bölü 2 elde edelim. Bu da, 1 bölü 2 çarpı 3 x kare eksi x üzeri eksi 1 bölü 2 eder. Evet, birinci terimi bulduk. f'(g(x)), burada gördüğünüze eşit. Yeşille gösterdiğim bu ifade, buna eşit. Dıştaki fonksiyonun içteki fonksiyona göre türevini bulduk. Buraya da yazalım, 1 bölü 2 çarpı; 3 x kare, eksi x; üzeri eksi 1 bölü 2. f(x) ve g(x) tanımlarımıza göre, bu, buna eşit. Görsel olarak da, bunu görmeyin, bunu görmezden gelin burada bir şey üzeri 1 bölü 2 var. Ve bunun türevi, 1 bölü 2 çarpı o şey üzeri eksi 1 bölü 2’dir. Aynen burada bulduğumuz gibi. Şimdi de sırada, o şeyin, yani içteki fonksiyonun x’e göre türevini almak var. Bu daha kolay olacak. g'(x), 6x eksi 1’dir. O halde, bunun yerine de, 6x eksi 1 yazalım. Tekrar ediyorum, bu, buna eşit. Evet, böylece, zincir kuralının nasıl uygulandığını bir örnek üzerinde de görmüş olduk. Bir kere daha söyleyeyim, zincir kuralı, Dıştaki fonksiyonun içtekine göre türevi, yani 1 bölü 2 çarpı x üzeri eksi 1 bölü 2 yerine, 1 bölü 2 çarpı g(x) üzeri eksi 1 bölü 2’yi hesapladık ve bunu, içteki fonksiyonun x’e göre türeviyle, yani g’nin x’e göre türeviyle çarptık.