Ters Kosinüsün Türevi

Bir önceki videoda, ark sinüs’ün türevinin 1 bölü karekök içinde 1 eksi x kare olduğunu görmüştük. Bu videoda ise, sizden aynı şeyi ark kosinüs için yapmanızı isteyeceğim. Haydi, şimdi videoyu durdurun ve ark sinüs için kullandığımız yöntemi kullanarak, ark kosinüs x’in türevini bulmaya çalışın. Evet, ark kosinüs x’in, x’e göre türevini bulmak istiyoruz. Denediniz ve cevabı buldunuz diye tahmin ediyorum. Şimdi de birlikte çözelim. Daha önce yaptığımız gibi, öncelikle ark kosinüs x ifadesini y eşittir ark kosinüs x olarak yazmak istiyorum. Buradan da, X eşittir kos y sonucuna ulaşıyoruz. Şimdi, iki tarafında, x’e göre türevini alalım. Sol tarafta 1 olacak. çünkü x’in, x’e göre türevi 1’dir! Sağ tarafta ise, kosinüs y’nin, y’ye göre türevi olan, eksi sin y çarpı, y’nin x’e göre türevi, yani, dy bölü dx var. İki tarafı da, eksi sin y’ye bölersek, dy bölü dx’i yalnız bırakmış oluruz. Böylece, dy bölü dx eşittir eksi 1 bölü sin y’yi elde ederiz. Bir önceki videoda da olduğu gibi, elde ettiğimiz türev y cinsinden. Halbuki biz x cinsinden bir sonuç elde etmek istiyoruz. X’in kos y’ye eşit olduğunu bildiğimize göre, paydadaki bu ifade yani sin y yerine kos y içeren bir ifade yazabilir miyiz, bir bakalım. Bir önceki videoda da görmüştük. Pisagor teoreminden, kos kare y artı sin kare y’nin 1’e eşit olduğunu biliyoruz. Bu eşitlikten sin y’yi çekersek, sin y’nin, karekök içinde 1 eksi kos kare y olduğunu buluruz. O halde, bu ifadeyi yeniden şu şekilde yazabilirim. Eksi 1 bölü, karekök içinde 1 eksi kos kare y. Ya da, 1 eksi kos y kare. Peki kos y neydi ? X. Bu durumda, denklemimiz, eksi 1 bölü, karekök içinde 1 eksi, x kare Kos y yerine x yazdık. X kare haline gelir. İşte bitirdik! Evet, ark kosinüs x’in, x’e göre türevi, eksi 1 bölü karekök içinde 1 eksi x karedir! Etrafını da şöyle çizelim. Bu bilgi çok önemli, ileride çok işimize yarayacak. Son olarak, ark kosinüsün türevini, ark sinüsün türeviyle karşılaştırmak istiyorum. Hatta bunları yan yana koyabilirsem, aralarındaki tek farkın eksi işareti olduğunu göreceksiniz. Bunu kopyalayalım ark kosinüsün türevinin yanına yapıştıralım. Evet, gördüğünüz gibi, ark kosinüsün türevi, eksi 1 bölü karekök içinde 1 eksi x kare. ark sinüsün türevi ise, aynı ifadenin pozitif olanı! Şahane!