Eğer bu mesajı görüyorsanız, web sitemizde dış kaynakları yükleme sorunu yaşıyoruz demektir.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Ana içerik

Değişim Birikimlerini Keşfetme

Belirli integraller miktarların birikimi olarak yorumlanır. Bunun nedenini ve gerçek hayattan bağlamları incelemede nasıl kullanıldığını öğrenin.
Belirli integral, uygulamalı bağlamlarda birikim ve net değişimle ilgili bilgi ifade etmekte kullanılabilir. Bunun nasıl yapıldığına bakalım.

Birikimi gerçek hayat bağlamında düşünme

Diyelim ki, bir tank 5 L/dak (litre bölü dakika) sabit hızıyla 6 dak doldurulmaktadır. Suyun (L cinsinden) hacmini zamanla hızı çarparak bulabiliriz:
Hacim=Zaman×Hız=6dk5Ldk=30dkLdk=30L
Şimdi bu duruma grafiksel olarak bakalım. Hız r1(t)=5 sabit fonksiyonuyla temsil edilebilir:
Bu grafikteki her bir yatay birim dakika cinsinden ölçülür ve düşey birim litre/dakika cinsinden ölçülür, buna göre, her birim kare alanın ölçüsü litre cinsindendir:
dkgenişlikLdkyükseklik=Lalan
Ayrıca, r1 grafiği ve t=0 ile t=6 arasında yatay eksen ile sınırlanmış dikdörtgenin alanı bize 6 dakika sonraki su hacmini verir:
Şimdi diyelim ki, bir tank daha dolduruluyor, ama bu sefer hız sabit değil:
r2(t)=6sin(0,3t)
6 dakika sonra bu tanktaki su hacmini nasıl söyleyebiliriz? Bunu yapmak için, t=0 ve t=6 arasında bu eğrinin altındaki alanın Riemann toplamı tahminini düşünelim. Kolaylık olması için, her dikdörtgenin 1 dakika genişliğinde olduğu bir tahmin kullanalım.
Her dikdörtgenin litre cinsinden bir hacmi nasıl temsil ettiğini gördük. Özellikle, bu Riemann toplamındaki her bir dikdörtgen, her dakika tanka eklenen su hacmi üzerine yapılan bir tahmindir. Alanların tümünü topladığımızda, yani tüm hacimler biriktirildiğinde, 6 dakika sonraki toplam su hacmi için bir tahmin elde ederiz.
Genişlikleri daha az olan daha fazla sayıda dikdörtgen kullandığımızda, daha iyi bir tahmin elde edeceğiz. Eğer bunu sonsuz dikdörtgeni toplama limitine taşırsak, 06r2(t)dt belirli integralini elde edeceğiz. Bu, 6 dakika sonraki tam su miktarının, r2 grafiği ve t=0 ile t=6 arasında yatay eksenle sınırlandırılmış alana eşit olduğu anlamına gelir.
Böylece, integral analizi 6 dakika sonundaki toplam hacmi bulmamızı sağlar:
06r2(t)dt24,5L

Bir miktarın değişim hızının belirli integrali, o miktardaki net değişimi verir.

Gördüğümüz örnekte, bir hızı tanımlayan bir fonksiyonumuz vardı. Bizim durumumuzda, hacmin zamana göre hızıydı. Bu fonksiyonun belirli integrali bize hacmin—hızı verilen miktarın birikimini verdi.
Buradaki başka bir önemli özellik, belirli integralin zaman aralığıydı. Buradaki durumda, zaman aralığı başlangıç (t=0) ve bundan 6 dakika sonrasıydı (t=6). Buna göre, belirli integral bize t=0 ve t=6 arasında tanktaki su miktarındaki net değişimi verir.
Belirli integrali düşünmenin en yaygın iki şekli bulunur: bir miktarın birikimini tanımlarlar, böylece belirli integralin tamamı bize bu miktardaki net değişimi verir.

Neden miktar değil de, miktardaki "net değişim"?

Yukarıdaki örneği kullanarak, bize t=0'dan önce tankta su olup olmadığının söylenmediğine dikkat edin. Eğer tank boşsa, bu durumda 6 dakika sonra tanktaki su miktarı gerçekten 06r2(t)dt24,5L'dir. Ancak tankta diyelim ki 7 litre su varsa, bu durumda 6 dakika sonra tanktaki gerçek su miktarı şöyledir:
7t=0’da hacim +06r2(t)dtt=0’dan t=6yahacimdedeğişim
Bu yaklaşık 7+24,5=31,5 L eder.
Unutmayın: Belirli integral bize her zaman bir miktardaki net değişimi verir, o miktarın gerçek değerini vermez. Gerçek miktarı bulmak için, belirli integrale bir başlangıç durumu eklemeliyiz.
Problem 1.A
Problem Seti 1, birikimle ilgili bir bağlamı inceleme sürecini adım adım yapmanızı sağlayacak:
t zamanında, bir bakteri popülasyonu t gün cinsinden ölçülmek üzere, günde r(t) gram hızla büyümektedir.
08r(t)dt belirli integralinin temsil ettiği miktarın birimleri nelerdir?
1 cevap seçin:

Sık yapılan hata: Uygun olmayan birimleri kullanma

Tüm uygulamalı problemlerde olduğu gibi, birimler burada da önemli rol oynar. Eğer r Miktar AMiktar B cinsinden ölçülen bir hız fonksiyonuysa, bu durumda bunun belirli integralinin Miktar A cinsinden ölçüldüğünü unutmayın.
Örneğin, Problem seti 1'de, r gramgün cinsinden ölçülmüştü ve dolayısıyla r'nin belirli integrali gram cinsinden ölçülmüştü.
Problem 2
Eren saatte r(t) kilometre hızla yürüdü (burada t saat cinsinden zamandır).
23r(t)dt=6 ne anlama gelir?
1 cevap seçin:

Sık yapılan hata: İntegral aralığını yanlış yorumlama

Herhangi bir hız fonksiyonu r için, abr(t)dt belirli integrali t=a ve t=b arasında değer birikimini tanımlar.
Sık rastlanan bir hata, limitlerden birini (genelde küçük olanı) göz ardı etmektir, bu da yanlış yoruma yol açar.
Örneğin, Problem 2'de 23r(t)dt'yi Eren'in 3 saatte yürüdüğü mesafe olarak yorumlamak hatalı olurdu. Alt sınır 2'dir, dolayısıyla 23r(t)dt Eren'in 2. saatle 3. saat arasında yürüdüğü mesafedir. Ayrıca, zaman aralığının tam olarak bir birim olduğu durumlarda, genelde "3. saat esnasında" deriz
Problem 3
Ceyda'nın geliri ayda r(t) bin liradır (burada t yılın ilk ayıdır). Ceyda yılın ilk ayında 3 bin lira kazandı.
3+15r(t)dt=19 ne anlama gelir?
1 cevap seçin:

Sık yapılan hata: Başlangıç koşullarını görmezden gelme

Bir hız fonksiyonu f ve bunun ters türevi F için, abf(t)dt belirli integrali t=a ve t=b arasında F'deki net değişimi verir. Eğer bir başlangıç durumu eklersek, F için gerçek bir değer elde ederiz.
Örneğin, Problem 3'te, 15r(t)dt 1. ve 5. aylar arasında Ceyda'nın para miktarındaki değişikliği temsil eder. Ancak Ceyda'nın 1. aydaki parası olan 3'ü eklediğimiz için, ifade artık 5. aydaki gerçek miktarı temsil etmektedir.

İlişkili değişim hızları uygulaması

Diferansiyel hesapta bir f fonksiyonun f türevinin, belirli bir girdide f'nin anlık değişim hızını verdiğini öğrenmiştik. Şimdi tam tersi yönde hareket ediyoruz! Herhangi bir hız fonksiyon olan f'nin ters türevi F, hızı f ile tanımlanan miktarın biriken değerini verir.
MiktarHız
Diferansiyel hesapf(x)f(x)
İntegral hesapF(x)=axf(t)dtf(x)
Problem 4
k(t) fonksiyonu bir sos fabrikasında belirli bir günde (saat cinsinden) t zamanına kadar üretilen ketçap miktarını (kilogram cinsinden) verir.
04k(t)dt neyi temsil eder?
1 cevap seçin:

Daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı deneyin.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

  • ismail fedakar kullanıcısının avatarı blobby green style
    Selamlar. Hocam beni yanlış anlamayın. Siz Rieman toplamını doğru düzgün anlatmamışsınızki Rieman toplamı hakkında bir sürü soru yazmışsınız. Bence öğrenci bunları çözemez. Önce işin mantığını öğrenmek gerekir. Soru çözmek en son yapılacak iştir. Beni bağışlayın hocam ama bu dersler öğrenciye bir şey kazandırmaz. Bir müddet sonra sıkılıp bırakır.
    (1 oy)
     kullanıcısının avatarı Default Khan Academy avatar
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.