Ana içerik

AP®︎/Üniversite Kalkülüs AB

Konu: AP®︎/Üniversite Kalkülüs AB > Ünite 6

Ders 1: Değişim birikimlerini keşfetme

Değişim birikimlerini keşfetme

Belirli integraller miktarların birikimi olarak yorumlanır. Bunun nedenini ve gerçek hayattan bağlamları incelemede nasıl kullanıldığını öğrenin.

Belirli integral, uygulamalı bağlamlarda birikim ve net değişimle ilgili bilgi ifade etmekte kullanılabilir. Bunun nasıl yapıldığına bakalım.

Birikimi gerçek hayat bağlamında düşünme

Diyelim ki, bir tank start color #11accd, 5, start text, space, L, slash, d, a, k, end text, end color #11accd (litre bölü dakika) sabit hızıyla start color #ca337c, 6, start text, space, d, a, k, end text, end color #ca337c doldurulmaktadır. Suyun (start text, L, end text cinsinden) hacmini zamanla hızı çarparak bulabiliriz:

\begin{aligned} \text{Hacim}&=\maroonD{\text{Zaman}}\times\blueD{\text{Hız}} \\ &=\maroonD{6\,\text{dk}}\cdot\blueD{5\,\dfrac{\text{L}}{\text{dk}}} \\ &=30\dfrac{\cancel{\text{dk}}\cdot\text{L}}{\cancel{\text{dk}}} \\ &=30\,\text{L} \end{aligned}

Şimdi bu duruma grafiksel olarak bakalım. Hız r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5 sabit fonksiyonuyla temsil edilebilir:

Bu grafikteki her bir yatay birim dakika cinsinden ölçülür ve düşey birim litre/dakika cinsinden ölçülür, buna göre, her birim kare alanın ölçüsü litre cinsindendir:

start underbrace, start text, d, k, end text, end underbrace, start subscript, start text, g, e, n, i, ş, l, i, k, end text, end subscript, dot, start underbrace, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, d, k, end text, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, y, u, with, \", on top, k, s, e, k, l, i, k, end text, end subscript, equals, start underbrace, start text, L, end text, end underbrace, start subscript, start text, a, l, a, n, end text, end subscript

Ayrıca, r, start subscript, 1, end subscript grafiği ve t, equals, 0 ile t, equals, 6 arasında yatay eksen ile sınırlanmış dikdörtgenin alanı bize 6 dakika sonraki su hacmini verir:

Şimdi diyelim ki, bir tank daha dolduruluyor, ama bu sefer hız sabit değil:

6 dakika sonra bu tanktaki su hacmini nasıl söyleyebiliriz? Bunu yapmak için, t, equals, 0 ve t, equals, 6 arasında bu eğrinin altındaki alanın Riemann toplamı tahminini düşünelim. Kolaylık olması için, her dikdörtgenin 1 dakika genişliğinde olduğu bir tahmin kullanalım.

Her dikdörtgenin litre cinsinden bir hacmi nasıl temsil ettiğini gördük. Özellikle, bu Riemann toplamındaki her bir dikdörtgen, her dakika tanka eklenen su hacmi üzerine yapılan bir tahmindir. Alanların tümünü topladığımızda, yani tüm hacimler biriktirildiğinde, 6 dakika sonraki toplam su hacmi için bir tahmin elde ederiz.

Genişlikleri daha az olan daha fazla sayıda dikdörtgen kullandığımızda, daha iyi bir tahmin elde edeceğiz. Eğer bunu sonsuz dikdörtgeni toplama limitine taşırsak, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t belirli integralini elde edeceğiz. Bu, 6 dakika sonraki tam su miktarının, r, start subscript, 2, end subscript grafiği ve t, equals, 0 ile t, equals, 6 arasında yatay eksenle sınırlandırılmış alana eşit olduğu anlamına gelir.

Böylece, integral analizi 6 dakika sonundaki toplam hacmi bulmamızı sağlar:

integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, L, end text

[Hesaplamayı göster.]

Bir miktarın değişim hızının belirli integrali, o miktardaki net değişimi verir.

Gördüğümüz örnekte, bir hızı tanımlayan bir fonksiyonumuz vardı. Bizim durumumuzda, hacmin zamana göre hızıydı. Bu fonksiyonun belirli integrali bize hacmin—hızı verilen miktarın birikimini verdi.

Buradaki başka bir önemli özellik, belirli integralin zaman aralığıydı. Buradaki durumda, zaman aralığı başlangıç left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis ve bundan 6 dakika sonrasıydı left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis. Buna göre, belirli integral bize t, equals, 0 ve t, equals, 6 arasında tanktaki su miktarındaki net değişimi verir.

Belirli integrali düşünmenin en yaygın iki şekli bulunur: bir miktarın birikimini tanımlarlar, böylece belirli integralin tamamı bize bu miktardaki net değişimi verir.

Neden miktar değil de, miktardaki "net değişim"?

Yukarıdaki örneği kullanarak, bize t, equals, 0'dan önce tankta su olup olmadığının söylenmediğine dikkat edin. Eğer tank boşsa, bu durumda 6 dakika sonra tanktaki su miktarı gerçekten integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, L, end text'dir. Ancak tankta diyelim ki 7 litre su varsa, bu durumda 6 dakika sonra tanktaki gerçek su miktarı şöyledir:

start underbrace, 7, end underbrace, start subscript, start text, t, =, 0, apostrophe, d, a, space, h, a, c, i, m, space, end text, end subscript, plus, start overbrace, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end overbrace, start superscript, start text, end text, t, equals, 0, start text, apostrophe, d, a, n, space, end text, t, equals, 6, prime, y, a, h, a, c, i, m, d, e, d, e, g, with, \breve, on top, i, ş, i, m, end superscript

Bu yaklaşık 7, plus, 24, comma, 5, equals, 31, comma, 5, start text, space, L, end text eder.

Unutmayın: Belirli integral bize her zaman bir miktardaki net değişimi verir, o miktarın gerçek değerini vermez. Gerçek miktarı bulmak için, belirli integrale bir başlangıç durumu eklemeliyiz.

Problem 1.A

Akım

Problem Seti 1, birikimle ilgili bir bağlamı inceleme sürecini adım adım yapmanızı sağlayacak:

t zamanında, bir bakteri popülasyonu t gün cinsinden ölçülmek üzere, günde r, left parenthesis, t, right parenthesis gram hızla büyümektedir.

integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t belirli integralinin temsil ettiği miktarın birimleri nelerdir?

Sık yapılan hata: Uygun olmayan birimleri kullanma

Tüm uygulamalı problemlerde olduğu gibi, birimler burada da önemli rol oynar. Eğer r start fraction, start color #11accd, start text, M, i, k, t, a, r, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, M, i, k, t, a, r, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction cinsinden ölçülen bir hız fonksiyonuysa, bu durumda bunun belirli integralinin start color #11accd, start text, M, i, k, t, a, r, space, A, end text, end color #11accd cinsinden ölçüldüğünü unutmayın.

Örneğin, Problem seti 1'de, r start fraction, start color #11accd, start text, g, r, a, m, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, g, u, with, \", on top, n, end text, end color #ca337c, end fraction cinsinden ölçülmüştü ve dolayısıyla r'nin belirli integrali start color #11accd, start text, g, r, a, m, end text, end color #11accd cinsinden ölçülmüştü.

Problem 2

Eren saatte r, left parenthesis, t, right parenthesis kilometre hızla yürüdü (burada t saat cinsinden zamandır).

integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 6 ne anlama gelir?

(A şıkkı)
Eren saatte 6 kilometre yürüdü.
(B şıkkı)
Eren 3 saatte 6 kilometre yürüdü.
(C şıkkı)
Eren üçüncü saat 6 kilometre yürüdü.
(D şıkkı)
Eren'in hızı 2 ila 3, point saatler arasında saatte 6 kilometre artmıştır.

Sık yapılan hata: İntegral aralığını yanlış yorumlama

Herhangi bir hız fonksiyonu r için, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t belirli integrali t, equals, a ve t, equals, b arasında değer birikimini tanımlar.

Sık rastlanan bir hata, limitlerden birini (genelde küçük olanı) göz ardı etmektir, bu da yanlış yoruma yol açar.

Örneğin, Problem 2'de integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t'yi Eren'in 3 saatte yürüdüğü mesafe olarak yorumlamak hatalı olurdu. Alt sınır 2'dir, dolayısıyla integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t Eren'in 2. saatle 3. saat arasında yürüdüğü mesafedir. Ayrıca, zaman aralığının tam olarak bir birim olduğu durumlarda, genelde "3. saat esnasında" deriz

Problem 3

Ceyda'nın geliri ayda r, left parenthesis, t, right parenthesis bin liradır (burada t yılın ilk ayıdır). Ceyda yılın ilk ayında 3 bin lira kazandı.

3, plus, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 19 ne anlama gelir?

(A şıkkı)
Ceyda 1 ila 5 ayları arasında fazladan 19 bin lira kazanmıştır.
(B şıkkı)
Ceyda ayda ortalama 19 bin lira kazanmıştır.
(C şıkkı)
Ceyda beşinci ayda 19 bin lira kazanmıştır.
(D şıkkı)
Beşinci ayın sonunda, Ceyda toplam 19 bin lira kazanmış olur.

Sık yapılan hata: Başlangıç koşullarını görmezden gelme

Bir hız fonksiyonu f ve bunun ters türevi F için, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t belirli integrali t, equals, a ve t, equals, b arasında F'deki net değişimi verir. Eğer bir başlangıç durumu eklersek, F için gerçek bir değer elde ederiz.

Örneğin, Problem 3'te, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t 1. ve 5. aylar arasında Ceyda'nın para miktarındaki değişikliği temsil eder. Ancak Ceyda'nın 1. aydaki parası olan 3'ü eklediğimiz için, ifade artık 5. aydaki gerçek miktarı temsil etmektedir.

İlişkili değişim hızları uygulaması

Diferansiyel hesapta bir f fonksiyonun f, prime türevinin, belirli bir girdide f'nin anlık değişim hızını verdiğini öğrenmiştik. Şimdi tam tersi yönde hareket ediyoruz! Herhangi bir hız fonksiyon olan f'nin ters türevi F, hızı f ile tanımlanan miktarın biriken değerini verir.

	Miktar	Hız
Diferansiyel hesap	f, left parenthesis, x, right parenthesis	f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
İntegral hesap	F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t	f, left parenthesis, x, right parenthesis

Problem 4

k, left parenthesis, t, right parenthesis fonksiyonu bir sos fabrikasında belirli bir günde (saat cinsinden) t zamanına kadar üretilen ketçap miktarını (kilogram cinsinden) verir.

integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 4, end superscript, k, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t neyi temsil eder?

Daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı deneyin.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

ismail fedakar
3 ay önce önce paylaşıldı. ismail fedakar kullanıcısının ''Selamlar. Hocam beni yanl'...' gönderisini görmek için direkt link
Selamlar. Hocam beni yanlış anlamayın. Siz Rieman toplamını doğru düzgün anlatmamışsınızki Rieman toplamı hakkında bir sürü soru yazmışsınız. Bence öğrenci bunları çözemez. Önce işin mantığını öğrenmek gerekir. Soru çözmek en son yapılacak iştir. Beni bağışlayın hocam ama bu dersler öğrenciye bir şey kazandırmaz. Bir müddet sonra sıkılıp bırakır.
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(1 oy)
Cevap

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.