Bölme Kullanarak İntegral Alma

Buradaki integralin neye eşit olduğunu bulabilir misiniz? Evet, kendi başınıza bir deneyin. Eğer denediyseniz, bunun integralini almak için, şu ana kadar öğrenmiş olduğumuz geleneksel yöntemlerin, mesela değişken değiştirmenin işe yaramadığını görmüşsünüzdür. Bunun gibi, rasyonel bir ifadenin integralini almak için, yapmanız gereken ilk şey, Payın kuvvetinin, paydadan büyük ya da eşit olup olmadığına bakmak. Evet, burada payın kuvveti, paydanın kuvvetine eşit ve bunun gibi durumlarda, payı, paydaya bölebilirsiniz. Rasyonel sayı da zaten iki sayının birbirine oranı demek, değil mi? x eksi 5 ; bölü, eksi 2x artı 2... Gelin, bu uzun bölme işlemini birlikte yapalım ve elde edeceğimiz sonucun integralini alabilecek miyiz, görelim. x eksi 5’i, eksi 2x artı 2’ye böleceğiz. Başlıyorum. Kuvveti en büyük terimler hangileri? x’te, eksi 2x kaç kere vardır? Eksi 1 bölü 2 kere. Eksi 1 bölü 2 çarpı eksi 2x, c eder. Eksi 1 bölü 2 çarpı 2’de, eksi 1. Şimdi maviden sarıyı çıkaralım. Alttakinin negatifini alıp toplayacağım. Negatifini alınca, eksi x artı 1 oldu. Toplamları da, eksi 5 artı 1, eksi 4. Demek ki, bu bölme işleminin bölümü eksi 1 bölü 2, kalanı da eksi 4. Şimdi, bu sonucu kullanarak, bunu baştan yazalım. Eksi 1 bölü 2, eksi 4, bölü, eksi 2x, artı 2 dx. Bunu sadeleştirebilir miyiz? Evet. Hepsini 2’ye bölelim. Hatta bir taşla iki kuş vuralım ve eksi işaretlerinden de kurtulmak için, eksi 2’ye bölelim. Eksi 4’ü, eksi 2’ye bölersek, 2 olur. Eksi 2x bölü eksi 2, x eder. Ve artı 2 bölü eksi 2’den de, eksi 1 elde ettik. Şu ana kadar sadece cebir yaptık ve buradaki ifadeyi, eksi 1 bölü 2 artı 2 bölü x eksi 1’e sadeleştirdik. Şahane! Artık integrali almaya hazırız. Eksi 1 bölü 2’nin ters türevi oldukça açık, değil mi? Eksi 1 bölü 2 x olacak. Sırada 2 bölü x eksi 1’in ters türevi var. Hemen, kafanızdan... x eksi 1’in türevi, 1’dir. Değişken değiştirme yaparak, x eksi 1’e göre ters türevi, x eksi 1’in mutlak değerinin doğal logaritması olarak bulabilirsiniz. Eğer karışık geldiyse ve ne anlatmaya çalıştığımı tam olarak anlamadıysanız, gelin, değişken değiştirmeyi uygulayalım. x eksi 1’in türevi nedir? 1. Peki, x eksi 1 yerine u koyarsak, du, dx’e eşit olur. Bunu, sabit sayıyı dışarı çıkarıyorum. 2 çarpı 1 bölü u’nın integrali, çarpı du ve bu da, 2 çarpı mutlak değer içinde u’nun doğal logaritması artı c olur. u’nun yerine x eksi 1’i koyarsak da, 2 çarpı mutlak değer içinde x eksi 1’in doğal logaritması artı c buluruz. Evet, bu sonucu, artı 2 çarpı mutlak değer içinde x eksi 1’in doğal logaritması artı c, olarak buraya yazıyorum. Küçük bir hatırlatma, artı c, sadece bundan gelmiyor. Bütün bu ifadenin integrali alırken eklediğimiz bir sabit ve eğer bunun türevini alırsanız da, zaten yok olur. İşte bu kadar!