Bir fonksiyonun altındaki alanın yaklaşık değerini bulmak için Riemann toplamlarını kullanabileceğimizi zaten biliyorsunuz. Riemann toplamları dikdörtgenler kullanır ve bazen kestirimler çok doğru olmaz. Bir fonksiyonun altındaki alanı kestirmek için dikdörtgenler yerine yamuklar kullansak nasıl olur?

Temel fikir: Yamukları kullanarak (yani "yamuk kuralı"), dikdörtgenleri kullanarak (yani "Riemann toplamları") elde ettiğimizden daha doğru kestirimler elde edebiliriz.

$[2, 8]$open bracket, 2, comma, 8, close bracket aralığında $f(x) = 3 \ln(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis fonksiyonunun altındaki alanı kestirmek için üç yamuk kullanarak bunu kontrol edelim.

Birinci yamuğu $T_1$T, start subscript, 1, end subscript, ikinci yamuğu $T_2$T, start subscript, 2, end subscript ve üçüncü yamuğu $T_3$T, start subscript, 3, end subscript olarak adlandırırsak, bu bir şemada şöyle gözükür:

Yamuğun alanının $h \left(\dfrac{b_1 + b_2}{2}\right)$h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis olduğunu hatırlayın, burada $h$h yüksekliktir ve $b_1$b, start subscript, 1, end subscript ve $b_2$b, start subscript, 2, end subscript tabanlardır.

Eğer kenarlarda bulunuyorsa, yamuğun alanı hakkında düşünmeliyiz.

$x = \greenD 2$x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54'den $x = \maroonD 4$x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c'e uzanan $T_1$T, start subscript, 1, end subscript'in tabanında $h$h yüksekliği $2$2'dir.

Birinci taban $b_1$b, start subscript, 1, end subscript $3 \ln(x)$3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis at $x = \greenD 2$x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54'nin değeridir, yani $3 \ln (\greenD 2)$3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis'dir.

İkinci taban $b_2$b, start subscript, 2, end subscript $3 \ln(x)$3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis'in $x = \maroonD 4$x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c'teki değeridir, yani $3 \ln (\maroonD 4)$3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis'tür.

Bunların tümü, şöyle gözükür:

$T_1$T, start subscript, 1, end subscript'in alanını bulmak için bunları bir araya koyalım:

Sadeleştirin:

Yüksekliği ve tabanların her ikisini bulalım:

Yerine koyun ve sadeleştirin:

Toplam alanı, üç yamuğun her birisinin alanını toplayarak buluruz:

Nihai ve sadeleştirilmiş cevap böyledir: