Belirli İntegralin Sınırlarını Değiştirme

Belirli integralin tanımlarından birini daha önce görmüştük. Hatta diğer tanımların da, bu tanıma çok benzediğini söyleyebiliriz. f(x)dx’in a ve b sınırları arasındaki belirli integrali, buradaki taralı alana eşittir. Bu alanı bulmak içinse, alanın, n tane dikdörtgenden oluştuğunu düşünürüz, bu alanları toplar, yaklaşık bir değer buluruz. Mesela, bu birinci dikdörtgen olsun, bu ikinci olsun, ve böyle devam ederek, sonuncu yani n inci dikdörtgene ulaşırız. Bu da, sondan birinci yani, n eksi birinci dikdörtgen oluyor. Ve bu videoda, tüm dikdörtgenlerin enlerinin aynı olduğunu varsayacağım. Son olarak da, bu da, n'inci dikdörtgen. Ne demiştik? Enleri eşit. Genişlikleri eşit. Integralin tanımına göre, dikdörtgenlerin enleri aynı olmayabilir ama biz böyle olduğunu varsayıyoruz ve diyoruz ki, bu uzunluk, delta x’e eşit. Delta x’i nasıl buluruz? b eksi a’yı alırız ve n’e böleriz. Delta x’ler birbirine eşit olduğuna göre, toplam uzunluğu alır ve bunu, delta x’lerin toplam sayısına böleriz. Daha sonra, taralı alanı bulmak için, dikdörtgenlerin alanını kullanırız. Toplam uzunluğu alır ve bunu, delta x’lerin toplam sayısına böleriz. Daha sonra, taralı alanı bulmak için, dikdörtgenlerin alanını kullanırız. Ve bunu da şu şekilde ifade ediyoruz. Sigma, i eşittir 1’den, n’ye kadar. Küçük bir hatırlatma, yapmaya çalıştığım, n tane dikdörtgenin alanını toplamak. Dikdörtgenlerde birinin yüksekliği, Fx alt indis i ile gösterilebilir. X alt indis i, fonksiyonun xi noktasında aldığı değeri verir. Mesela bu x 1 olabilir, x, 2 ya da x 3 olabilir ve bunu, delta x ile çarparız. Bir örnek verelim, x2’yi aldığımızda, fx2, buradaki yükseklik olur. Bunu da delta x’le çarptığımız zaman, alanı elde ederiz. Evet, dediğim gibi, bunu daha önce görmüştük. Mesela, bir fonksiyon eğrisinin altında kalan yaklaşık alanı bulmak için, Riemann toplamını kullandığımızda, Belirli integralin tanımına göre bu, alan olduğu için, aynı zamanda, Bunun n sonsuza giderken limitine eşit olur. Delta x’in, bu şekilde tanımlanmış olmasına dikkat etmemiz gerekiyor. Bunu hemen not edelim. Evet, kopyala yapıştır. Evet, integrali görselleştirmenin yollarından bir tanesi bu. Şimdi, bu tanıma göre buraya yazdığım ifadenin, bu tanımla ilişkisi ne olabilir? Bu soru hakkında düşünelim. İkisi arasındaki farka bakalım, Burada a’dan b’ye gidiyorduk, buradaysa sınırları b’den a’ya olarak belirledik. Evet, bu iki ifadenin ilişkisi nedir? Evet burada, videoyu durdurun, soruya kendi başınıza cevap vermeye çalışın. Bunu aynen alalım, kopyalayalım ve buraya yapıştıralım Sınırların yerlerini değiştirdiğim için, aynı şeyi burada da yapacağım. b eksi a yerine, a eksi b yazacağım. Ve böyle yaptığımda da, farklı renklerle göstereyim Turuncuyla gösterdiğim delta x, yeşille gösterdiğim delta x’in negatifi olacak. Her şey aynı kaldı ama bu, bunun negatifi oldu. Tüm bunların sonucunda da, elimize bunun negatifi geçecek. Yani bu, fxdx’in a ve b sınırları arasındaki belirli integralinin negatifi olacak Evet, sonuç bu. Bu, integral alırken işimize yarayabilecek özelliklerden bir tanesidir. Integralin sınırlarının yerlerini değiştirirseniz, negatifini elde edersiniz. Tekrar ediyorum her şey burada başlıyor; sınırların yerini değiştirdiğinizde b eksi a, a eksi b oluyor. ve delta x’in negatifini elde ediyorsunuz ve bu yüzden de, bu da negatif oluyor. Evet, integral içeren bazı soru çözümlerinde, Hatta zaman zaman soruyu da daha iyi anlamamızı sağlayacak bir özellik öğrendik. Şahane, şahane.