Analizin Temel Teoremi ve Belirli İntegraller

Şekilde, c ve d aralığında sürekli olan f fonksiyonunu görüyorsunuz. C ve d yerine a ve b’yi kullanmadım çünkü onları sonraya saklıyorum! Bir de, büyük F fonksiyonunu tanımlayalım, C ve x arasında, X, fonksiyonun sürekli olduğu bu aralıkta yer alıyor, Evet, c ve x arasında, Eğrinin altında kalan alan, Yani ft dt. İşte buradaki alan, Büyük fx. Kalkülüsün temel teoremine göre, Fx, eğer bu aralıkta sürekliyse, Büyük fx, her x değeri için türevlenebilir! Tekrar ediyorum! büyük Fx, c d aralığındaki her x değeri için türevlenebilir! Bu durumda, Büyük F üssü x, küçük fx’e eşit olur! Evet buraya kadar her şey tamam! Şimdi, kalkülüsün temel teoremini, ikinci temel teoreme yani belirli integralleri değerlendirmemize yardımcı olan teoreme bağlayacağım! Evet! Hazır mıyız? Diyelim ki, Fb eksi fa’nın sonucunu bulmak istiyoruz. Küçük bir not, a ve b, bu aralıkta yer alıyor. Ve b, a’dan büyük. B burası olsun. Büyük F, b için, burada x gördüğümüz yerlere b yazacağım, C ve b arasında, ft’nin belirli integrali! Başka bir deyişle, C, b arasında ve eğrinin altında kalan alan! Evet, maviye boyadığım bu alan, büyük f b! Bundan büyük fa’yı yani, C ve a arasında ft’nin belirli integralini çıkaracağız. Şekil üzerinde de gösterelim, burası a’ysa, A c arasında ve eğrinin altında kalan alan, fa olur! Evet, Fa’yı da, pembeye boyayalım. Peki, mavi alandan pembe alan çıkarsa, geriye ne kalır? Yani bu yeşil alanı, bir integral olarak yazabilir miyiz? Mesela, a ve b arasında ft’nin belirli integrali dersek, olur mu? Olur. Ve karşınızda, Kalkülüsün ikinci temel teoremi duruyor! F bu aralıkta sürekliyse, Bu, f’nin ters türevine eşittir! Bakın, burada da, Büyük F’nin, küçük f’nin ters türevi olduğunu bulmuştuk, Hatta biz bulmamıştık, kalkülüsün temel teoremi bize, bunun böyle olduğunu söylemişti. Hemen not edelim, büyük F, küçük f’nin ters türevi. Buradaysa, eğer, elimizde belirli bir integral varsa bu, b’de değerlendirilen ters türev eksi a’da değerlendirilen ters türeve eşit olur! Tekrar ediyorum, Ft’nin a b arasındaki belirli integrali, f’nin b’de değerlendirilen ters türevinden, a’da değerlendirilen ters türevinin çıkarılmasıyla bulunur! Kalkülüsün temel teoreminin ikinci kısmı Ya da ikinci temel teoremi, bundan ibarettir