If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

AP®︎/Üniversite Kalkülüs AB

Konu: AP®︎/Üniversite Kalkülüs AB > Ünite 6

Ders 10: Yerine koymayla integral alma
Matematik
AP®︎/Üniversite Kalkülüs AB
İntegral ve değişimin birikimi
Yerine koymayla integral alma
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Yerine Koyma Yöntemi

Google Classroom
?-değişken değiştirme, türevlerin zincir kuralını tersten uygulamamızı sağlar. Başka bir deyişle, bileşke fonksiyonların integralini almamıza yardımcı olur.
Ters türev alırken, yaptığımız şey "türev almanın tersini yapmaktır". Bazı durumlar çok kolaydır. Örneğin, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54'nin türevinin start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab olduğunu biliyoruz, o zaman integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, d, x, equals, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, plus, C'dir. Bu mantığı sine, left parenthesis, x, right parenthesis, e, start superscript, x, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction gibi diğer temel fonksiyonlarla kullanabiliriz.
Ancak, başka durumlar bu kadar kolay değildir. Örneğin, integral, cosine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, d, x nedir? İpucu: sine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, plus, C değil. Bunun türevini aldığınızda nedenini göreceksiniz.
Çok faydalı bir yöntem, aslında zincir kuralının tersini alan u-değişken değiştirmedir.

Belirsiz integralde u-değişken değiştirmeyi kullanma

integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab'i bulmamızın istendiğini varsayın. start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab'in, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 bileşke fonksiyonunda ''içteki'' fonksiyon olan start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54'nin türevi olduğuna dikkat edin. Başka şekilde ifade edersek, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #1fab54 ve start color #e07d10, w, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10 dersek bunu elde ederiz:
start color #7854ab, start overbrace, 2, x, end overbrace, start superscript, u, prime, end superscript, end color #7854ab, start color #e07d10, start underbrace, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, u, end superscript, end color #1fab54, right parenthesis, end underbrace, start subscript, w, end subscript, end color #e07d10, equals, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab, start color #e07d10, w, left parenthesis, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, end color #e07d10
Bu, u-değişken değiştirmenin gerekli olduğunu gösteriyor. Nasıl yapıldığını görelim.
İlk olarak start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 denkleminin x'e göre türevini alırız, bu arada u'yu x cinsinden kapalı bir fonksiyon olarak düşünürüz.
u=x2ddx[u]=ddx[x2]dudx=2xdu=2x dx\begin{aligned} u&=x^2 \\\\ \dfrac{d}{dx}[u]&=\dfrac{d}{dx}[x^2] \\\\ \dfrac{du}{dx}&=2x \\\\ \purpleD{du}&\purpleD{=2x\,dx} \end{aligned}
Son satırda, denklemi d, x ile çarptık, böylece d, u tek başına kaldı. Bu biraz alışılmışın dışında olsa da, bir sonraki adımımız için faydalıdır. Böylece start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 ve start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab olur. Şimdi integralde yerine koyma yapabiliriz:
=∫2xcos⁡(x2) dx=∫cos⁡(x2⏟u)2x dx⏟duYeniden du¨zenleyin.=∫cos⁡(u) duYerine koyun.\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \purpleD{2x}\goldD{\cos(}\greenD{x^2}\goldD )\,\purpleD{dx} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(\greenD{\underbrace{x^2}_{u}})}\purpleD{\underbrace{2x\,dx}_{du}}&\gray{\text{Yeniden düzenleyin.}} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du}&\gray{\text{Yerine koyun.}} \end{aligned}
Değişken değiştirmeden sonra, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10'nun u cinsinden ters türevi için bir ifade kalır. Ne kadar iyi! cosine, left parenthesis, u, right parenthesis temel bir fonksiyondur, onun için ters türevini kolaylıkla bulabiliriz. Yapmamız gereken tek şey, fonksiyonu yeniden x cinsinde ifade etmektir:
=∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)+C=sin⁡(x2)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\,du \\\\ &=\sin(\greenD u)+C \\\\ &=\sin(\greenD{x^2})+C \end{aligned}
Sonuç olarak, integral, 2, x, cosine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, d, x is sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C. Bunu doğrulamak için, sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C'nin türevini alabilirsiniz.
Önemli nokta #1: u-değişken değiştirme aslında zincir kuralının tersini almaktan ibarettir:
  • Zincir kuralına göre, start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10'in türevi, start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab.
  • u-değişken değiştirmede start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab şeklinde bir ifadeyi alırız ve start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 şeklinde ters türevini buluruz.
Önemli nokta #2: u-değişken değiştirme karışık bir ifadeyi alıp "içteki" fonksiyonu değişken yaparak sadeleştirmemizi sağlar.
Problem 1.A
  • Akım
Problem Seti 1'de aşağıdaki integrali u-değişken değiştirmeyle çözmenin tüm adımlarını bulacaksınız.
integral, left parenthesis, 6, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, d, x, equals, question mark
u'yu nasıl tanımlamalıyız?
1 cevap seçin:

Sık yapılan bir hata: u veya d, u için yanlış ifadeyi bulma

u için yanlış ifadeyi seçmek, yanlış cevaba yol açar. Örneğin, Problem Seti 1'de, u 2, x, cubed, plus, 5 olarak tanımlanmalıdır. u'yu 6, x, squared veya left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript yapmak işe yaramaz.
Unutmayın: u-yerine koyma yönteminin uygulanabilmesi için, integralin içindeki fonksiyonu start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab olarak yazabilmeliyiz. Bu durumda, u bileşik çarpanın içteki fonksiyonu olarak tanımlanmalıdır.
Bu süreçteki önemli başka bir adım d, u'yu bulmaktır. u'nun türevini doğru aldığınızdan emin olun, çünkü yanlış bir d, u ifadesi, yanlış bir cevaba yol açar.
Problem 2
Timur'dan integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x bulması istenmiş. İşte Timur'un çözümü:
integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x, equals, sine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, plus, C
Timur'un çözümü doğru mudur? Değilse, hatası nedir?
1 cevap seçin:

Sık yapılan bir hata: u-değişken değiştirmenin gerektiğinin farkına varmamak

Unutmayın: Bileşik bir fonksiyonun integralini alırken, basitçe dıştaki fonksiyonun ters türevini alamayız. u yerine koyma yöntemini kullanmamız gerekir.
W'yu w'nun ters türevi olarak düşünürsek, bu noktayı matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:
integral, w, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, d, x, does not equal, W, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, plus, C

Sık yapılan bir hata: İçteki fonksiyonla türevini karıştırma

Diyelim ki, integral, x, squared, cosine, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, d, x'i bulmaya çalışıyorsunuz. "2, x x, squared'nin türevi olduğu için, u-değişken değiştirme kullanabiliriz." Aslında, u-değişken değiştirme içteki fonksiyonun türevini almayı gerektirdiğinden, u-değişken değiştirmenin işe yaraması için, x, squared'nin 2, x'in türevi olması gerekir. Durum böyle olmadığı için, u-değişken değiştirme burada uygulanmaz.

Bazen integrali bir sabitle çarpmamız/bölmemiz gerekir.

integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab'i bulmamızın istendiğini düşünün. Dikkat ederseniz, bizim bir bileşke fonksiyonumuz, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, var ve herhangi bir şeyle çarpılmamış. Bu ilk başta tuhaf görünebilir, ama devam edelim ve neler olduğunu görelim.
start color #1fab54, u, equals, 3, x, plus, 5, end color #1fab54 dersek, start color #7854ab, d, u, equals, 3, d, x, end color #7854ab olur. Şimdi zekice şu işlemi yaptıktan sonra, u'yu integrale koyarız:
integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab
Burada ne yaptığımız gördünüz mü? İntegralin içindeki fonksiyonda start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab olması için, integralin tamamını start fraction, 1, divided by, 3, end fraction ile çarptık. Böylece, integralin değerini aynı bırakırken, u-değişken değiştirmeyi mümkün kıldık.
Yerine koymayla devam edelim:
=13∫sin⁡(3x+5⏟u)3 dx⏟du=13∫sin⁡(u) du=−13cos⁡(u)+C=−13cos⁡(3x+5)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(\greenD{\underbrace{3x+5}_u})}\purpleD{\underbrace{3\,dx}_{du}} \\\\ &=\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du} \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{u})+C \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{3x+5})+C \end{aligned}
Önemli nokta: Bazen integralin değerini değiştirmeden, u-değişken değiştirmeye uygun bir şekle getirmek için, integralin tamamını belirli bir sayıyla çarpmamız veya bölmemiz gerekir.
Problem 3
integral, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, cubed, d, x, equals, question mark
1 cevap seçin:

Daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı deneyin.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.