If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Yerine Koyma Yöntemi

?-değişken değiştirme, türevlerin zincir kuralını tersten uygulamamızı sağlar. Başka bir deyişle, bileşke fonksiyonların integralini almamıza yardımcı olur.
Ters türev alırken, yaptığımız şey "türev almanın tersini yapmaktır". Bazı durumlar çok kolaydır. Örneğin, x2'nin türevinin 2x olduğunu biliyoruz, o zaman 2xdx=x2+C'dir. Bu mantığı sin(x), ex, 1x gibi diğer temel fonksiyonlarla kullanabiliriz.
Ancak, başka durumlar bu kadar kolay değildir. Örneğin, cos(3x+5)dx nedir? İpucu: sin(3x+5)+C değil. Bunun türevini aldığınızda nedenini göreceksiniz.
Çok faydalı bir yöntem, aslında zincir kuralının tersini alan u-değişken değiştirmedir.

Belirsiz integralde u-değişken değiştirmeyi kullanma

2xcos(x2)dx'i bulmamızın istendiğini varsayın. 2x'in, cos(x2) bileşke fonksiyonunda ''içteki'' fonksiyon olan x2'nin türevi olduğuna dikkat edin. Başka şekilde ifade edersek, u(x)=x2 ve w(x)=cos(x) dersek bunu elde ederiz:
2xucos(x2u)w=u(x)w(u(x))
Bu, u-değişken değiştirmenin gerekli olduğunu gösteriyor. Nasıl yapıldığını görelim.
İlk olarak u=x2 denkleminin x'e göre türevini alırız, bu arada u'yu x cinsinden kapalı bir fonksiyon olarak düşünürüz.
u=x2ddx[u]=ddx[x2]dudx=2xdu=2xdx
Son satırda, denklemi dx ile çarptık, böylece du tek başına kaldı. Bu biraz alışılmışın dışında olsa da, bir sonraki adımımız için faydalıdır. Böylece u=x2 ve du=2xdx olur. Şimdi integralde yerine koyma yapabiliriz:
=2xcos(x2)dx=cos(x2u)2xdxduYeniden düzenleyin.=cos(u)duYerine koyun.
Değişken değiştirmeden sonra, cos(u)'nun u cinsinden ters türevi için bir ifade kalır. Ne kadar iyi! cos(u) temel bir fonksiyondur, onun için ters türevini kolaylıkla bulabiliriz. Yapmamız gereken tek şey, fonksiyonu yeniden x cinsinde ifade etmektir:
=cos(u)du=sin(u)+C=sin(x2)+C
Sonuç olarak, 2xcos(x2)dx is sin(x2)+C. Bunu doğrulamak için, sin(x2)+C'nin türevini alabilirsiniz.
Önemli nokta #1: u-değişken değiştirme aslında zincir kuralının tersini almaktan ibarettir:
  • Zincir kuralına göre, w(u(x))'in türevi, w(u(x))u(x).
  • u-değişken değiştirmede w(u(x))u(x) şeklinde bir ifadeyi alırız ve w(u(x)) şeklinde ters türevini buluruz.
Önemli nokta #2: u-değişken değiştirme karışık bir ifadeyi alıp "içteki" fonksiyonu değişken yaparak sadeleştirmemizi sağlar.
Problem 1.A
Problem Seti 1'de aşağıdaki integrali u-değişken değiştirmeyle çözmenin tüm adımlarını bulacaksınız.
(6x2)(2x3+5)6dx=?
u'yu nasıl tanımlamalıyız?
1 cevap seçin:

Sık yapılan bir hata: u veya du için yanlış ifadeyi bulma

u için yanlış ifadeyi seçmek, yanlış cevaba yol açar. Örneğin, Problem Seti 1'de, u 2x3+5 olarak tanımlanmalıdır. u'yu 6x2 veya (2x3+5)6 yapmak işe yaramaz.
Unutmayın: u-yerine koyma yönteminin uygulanabilmesi için, integralin içindeki fonksiyonu w(u(x))u(x) olarak yazabilmeliyiz. Bu durumda, u bileşik çarpanın içteki fonksiyonu olarak tanımlanmalıdır.
Bu süreçteki önemli başka bir adım du'yu bulmaktır. u'nun türevini doğru aldığınızdan emin olun, çünkü yanlış bir du ifadesi, yanlış bir cevaba yol açar.
Problem 2
Timur'dan cos(5x7)dx bulması istenmiş. İşte Timur'un çözümü:
cos(5x7)dx=sin(5x7)+C
Timur'un çözümü doğru mudur? Değilse, hatası nedir?
1 cevap seçin:

Sık yapılan bir hata: u-değişken değiştirmenin gerektiğinin farkına varmamak

Unutmayın: Bileşik bir fonksiyonun integralini alırken, basitçe dıştaki fonksiyonun ters türevini alamayız. u yerine koyma yöntemini kullanmamız gerekir.
W'yu w'nun ters türevi olarak düşünürsek, bu noktayı matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:
w(u(x))dxW(u(x))+C

Sık yapılan bir hata: İçteki fonksiyonla türevini karıştırma

Diyelim ki, x2cos(2x)dx'i bulmaya çalışıyorsunuz. "2x x2'nin türevi olduğu için, u-değişken değiştirme kullanabiliriz." Aslında, u-değişken değiştirme içteki fonksiyonun türevini almayı gerektirdiğinden, u-değişken değiştirmenin işe yaraması için, x2'nin 2x'in türevi olması gerekir. Durum böyle olmadığı için, u-değişken değiştirme burada uygulanmaz.

Bazen integrali bir sabitle çarpmamız/bölmemiz gerekir.

sin(3x+5)dx'i bulmamızın istendiğini düşünün. Dikkat ederseniz, bizim bir bileşke fonksiyonumuz, sin(3x+5), var ve herhangi bir şeyle çarpılmamış. Bu ilk başta tuhaf görünebilir, ama devam edelim ve neler olduğunu görelim.
u=3x+5 dersek, du=3dx olur. Şimdi zekice şu işlemi yaptıktan sonra, u'yu integrale koyarız:
sin(3x+5)dx=13sin(3x+5)3dx
Burada ne yaptığımız gördünüz mü? İntegralin içindeki fonksiyonda 3dx olması için, integralin tamamını 13 ile çarptık. Böylece, integralin değerini aynı bırakırken, u-değişken değiştirmeyi mümkün kıldık.
Yerine koymayla devam edelim:
=13sin(3x+5u)3dxdu=13sin(u)du=13cos(u)+C=13cos(3x+5)+C
Önemli nokta: Bazen integralin değerini değiştirmeden, u-değişken değiştirmeye uygun bir şekle getirmek için, integralin tamamını belirli bir sayıyla çarpmamız veya bölmemiz gerekir.
Problem 3
(2x+7)3dx=?
1 cevap seçin:

Daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı deneyin.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.