Ara Değer Teoremi Özet

Ara değer teoremi, sürekli fonksiyonların temel bir özelliğini tanımlar: $[a,b]$open bracket, a, comma, b, close bracket aralığında sürekli olan herhangi bir $f$f fonksiyonu için, bu aralıkta fonksiyon $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis ve $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis arasında herhangi bir değeri alacaktır.

Daha biçimsel olarak, $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis ve $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis arasındaki herhangi bir $L$L değeri için, $[a,b]$open bracket, a, comma, b, close bracket'de $f(c)=L$f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, L olan bir $c$c değeri vardır.

Sürekli fonksiyonların grafiklerinin kalemi kaldırmaksızın çizildiği göz önüne alındığında, bu teorem çok mantıklıdır. Eğer grafiğin $(a,f(a))$left parenthesis, a, comma, f, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis ve $(b,f(b))$left parenthesis, b, comma, f, left parenthesis, b, right parenthesis, right parenthesis'den geçtiğini biliyorsak...

... bu durumda $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis ve $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis arasındaki herhangi bir $y$y değerinden geçmelidir.

Aşağıda değerler tablosu verilen ve sürekli olan $f$f fonksiyonunu düşünün. $f(x)=2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2 denklemine nerede bir çözüm olması gerektiğini bulalım.

$f(-1)=3$f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 3 ve $f(0)=-1$f, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 1 olduğuna dikkat edin. Fonksiyon $[-1,0]$open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket aralığında $-1$minus, 1 ve $3$3 arasında herhangi bir değer almalıdır.

$2$2, $-1$minus, 1 ile $3$3 arasındadır, dolayısıyla $[-1,0]$open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket'da $f(c)=2$f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 2 olan bir $c$c değeri olmalıdır.