Süreksizlik Noktasında Limit

fx eşittir, x eksi 3'ün mutlak değeri bölü, x eksi 3 diyelim. x, 3'e yaklaşırken, f x'in limitini bulmak istiyorum. Baktığınızda fonksiyonun, x eşittir 3'e tanımlı olmadığını görebilirsiniz 0 bölü 0 elde edersiniz, bu da tanımsız demektir. Bu soruyu cevaplamak için bu fonksiyonu biraz değişik bir şekilde yazalım. İki duruma ayırmamız gerekiyor. x büyüktür 3 ve x küçüktür 3. x büyüktür 3. x 3'ten büyük olduğunda, bu fonksiyon nasıl sadeleşiyor? Burada pozitif bir değer olur. Mutlak değerden aynen çıkar, yani x 3'ten büyük olduğunda, x eksi 3, bölü x eksi 3 elde ederiz x 3'ten büyük olduğu için, pay pozitif olacak ve mutlak değerini alırken değeri değişmeyecek. Yani bu ifadeyi elde ederiz, baştan yazarsak, x büyüktür 3 için, f x eşittir 1. x büyüktür 3 için. Şimdi de x'in, 3'ten küçük olduğu durumu düşünelim. x 3'ten küçük olduğunda, x eksi 3, negatif bir sayı olur. Bunun mutlak değerini aldığınızda, eksi 1 ile çarpmanız gerekir. Yani x eksi 3'ün eksisi, bölü, x eksi 3. Bunları sadeleştirmek isterseniz, x, 3'e eşit olmadığı sürece, bu kısım 1 olarak sadeleşir, yani eksi 1 kalır. x küçüktür 3 için, eksi 1. Eğer bana inanmıyorsanız, sayılarla deneme yapabilirsiniz. 3'ten büyük hangi sayıyı koyarsanız koyun, 1 elde edersiniz. İki aynı ifadenin birbirine bölümü. Ve 3'ten küçük x değerleri de deneyin. Hangi sayıyı denerseniz deneyin, bu sefer de eksi 1 elde edeceksiniz. Bu fonksiyonu görsellemeye çalışalım. Hemen eksenlerimizi çizelim x ekseni. Bu da fx ekseni. y eşittir fx. x eşittir 3 noktası, bizim için önemli. x eşittir 1, 2, 3, 4, 5 ve böyle devam edebiliriz. Burada da, artı 1, 2, burası y eşittir 1. Bu da y eşittir eksi 1, eksi 2. Böyle devam ediyor. Baştan yazdığımız şekliyle, bu fonksiyon, şu fonksiyonla aynı. Yalnızca farklı bir şekilde yazmış olduk. Fonksiyonumuz 3'te tanımsız. Ama x 3'ten büyük olduğunda, fonksiyonumuz 1'e eşit. Yani böyle bir şeye benziyor. 3'te tanımsız. Ve x 3'ten küçük olduğunda, fonksiyonumuz eksi 1'e eşit. Yani şöyle bir şey olacak. Yine 3'te tanımsız. Grafiğimiz böyle. Evet... Şimdi soruyu cevaplamaya çalışalım. x, 3'e yaklaşırken limit nedir? x 3'e negatif yönden, 3'ten küçük sayılardan yaklaşırken limitin ne olduğunu düşüneceğiz. Bu notasyonda negatifi, 3'ten sonra üstsimge olarak yazdım. Soldan limit alıyoruz. 3'ten küçük değerlerle başlıyoruz ve, 3'e yaklaşacağız. 0'dan başlıyoruz diyelim, fx eşittir, eksi 1. 1'e geldiğimizde , fx eşittir, eksi 1. 2'ye gelince, fx eşittir eksi 1. 2,999999'a ulaşınca da, yine fx eşittir, eksi 1. Soldan yaklaşırken limit, eksi 1'e yaklaşıyor. Şimdi x 3'e pozitif yönden, 3'ten büyük sayılardan yaklaşırken limiti nedir, onu bulalım. x, 5'e eşit olduğunda, fx eşittir 1. x, 4'e eşit olduğunda, fx eşittir 1. x, 3 virgül 0000001'e eşit olduğunda da, f x eşittir 1. Yani 1'e yaklaşıyor. Burada, tuhaf bir durum gözlemliyoruz. Soldan yaklaşırken bulduğumuz limitle sağdan yaklaşırken bulduğumuz limit birbirinden farklı. Eğer iki farklı sayıya yaklaşıyorsak, limit yoktur diyoruz. Yani buradaki limit yoktur. Şöyle de ifade edebiliriz. Ancak ve ancak, x, bir c değerine negatif yönden yaklaşırken, f x'in limiti, x, c'ye pozitif yönden yaklaşırken, fx'in limitine ve, bu iki limit de, L'ye eşitse, x, c değerine yaklaşırken, f x'in limiti, L'dir. Bunu burada göremedik. Soldan yaklaşırken limit, eksi 1'di. Sağdan yaklaşırken limit artı 1'di. İki taraftan limit aynı değildi. O nedenle, bu limit yoktur.