İleri Seviye Kalkülüs Soru Çözümü: Parçalı Fonksiyonlarda Süreklilik

6. soru. f x fonksiyonu şöyle tanımlanmış. İki durum var. Birinci durum şu x 0'dan küçük veya 0'a eşit ise, f x eşittir 1 eksi 2 sinüs x Ve ikinci durumda x'in 0'dan büyük olduğu durumda f eşittir e üzeri eksi 4 x. f'nin x eşittir 0'da sürekli olduğunu gösteriniz. Önce bir fonksiyonun 0'da sürekli olması için ne gerektiğini düşünelim. Burada bir fonksiyon olduğunu düşünelim. Bu x ekseni, bu da y ekseni diyelim. x eşittir 0'da ne olduğuna bakıyoruz. Fonksiyonumuzun grafiği şöyle olsun. Bu sorudaki şöyle bir fonksiyon olabilir Aslında tam olarak grafiğinin nasıl göründüğünden çok ne sorduklarını düşünmemiz önemli. Sürekli olması için sıfıra soldan yaklaşırken bulduğumuz limitin 0'daki fonksiyon değerine eşit olması gerekiyor. Ve sıfıra yaklaştığımız zaman bulduğumuz limitin de 0'daki fonksiyon değerine eşit olması lazım. Bunun önemli olmasının sebebi ise şu. Limit f 0 ile aynı olmazsa burada bir boşluk oluşur. Ama boşluğa rağmen limit olurdu. Yani şurada bir boşluk bulunan bir grafiğiniz olabilir. Soldan ve sağdan limitler var, yani o noktada limit tanımlı ama fonksiyon değeri bu limite eşit değil, başka bir sayıya eşit. Bu durumda fonksiyon süreksiz olur. Bu yüzden fonksiyonun sürekli olması için limitin fonksiyon değerine eşit olması gerekiyor. Şimdi bunların hepsinin birbirine eşit olup olmadığına bakalım. İlk olarak fonksiyonun buradaki değerini düşünelim. a kısmını çözüyoruz. f 0 eşittir, birinci ifadeyi kullanacağız, çünkü x 0'dan küçük veya 0'a eşit Yani f 0 eşittir 1 eksi 2 sinüs 0. Sinüs 0 eşittir 0, 2 çarpı 0 eşittir 0. Yani bunun tamamı 0. 1 eksi 0 eşittir 1. Tamam ve x sıfıra soldan yaklaşırken f x'in limitini bulalım. x sıfıra soldan yaklaşırken birinci ifadeyi kullanıyoruz. Yani bu limit x sıfıra soldan yaklaşırken 1 eksi 2 sinüs x'in limiti. Sinüs x sürekli bir fonksiyon olduğu için bu, 1 eksi 2 sinüs 0 ile aynı şey olacak. Bunun da 1'e eşit olduğunu zaten bulduk Yani soldan limit fonksiyon değerine eşit. Şimdi sağdan limit alalım. 0'dan büyük değerlerden yaklaşalım. Sıfıra sağdan yaklaşırken f x'in limiti. Şimdi 0'dan büyük x değerlerini düşünüyoruz Yani bu ifadeyi kullanıyoruz Bu limit x sıfıra sağdan yaklaşırken e üzeri eksi 4 x'in limiti olacak. Kullandığımız x değerleri için ve genelde bu fonksiyon süreklidir. Yani limit e üzeri eksi 4 çarpı 0 olacak. Bu da e üzeri 0, yani 1. Ve yine 1 bulduk. Buna göre, bu noktada fonksiyon değeri 1, soldan limit 1 ve sağdan limit 1. Demek ki fonksiyon bu noktada sürekli.