AP Kalkülüs (İleri Seviye Kalkülüs) Soru Çözümü: Bir Borudaki Minimum Su

O ne ki şimdi de sorunun cemad desine bakalım sıfır küçük ya da eşittir t o da küçük ya da eşittir 8 aralığında hangi tez zamanında borudaki su miktarı minimumdur Cevabınızı açıklayınız demişler bekar şimdi herhangi bir tez zamanında borudaki su miktarını veren bir double fonksiyonu tanımlayalım Sonrasında da Tenin aralığında da biliyorsun minimum değerini nasıl hesaplayacağız ı bulabiliriz öyleyse Daha böyle Yiğit'e diyelim ki bu verilen herhangi bir tez zamanında borudaki su miktarı olacak evet de eşittir 30 metre küp diyelim Çünkü yukarıda te eşittir sıfır da boruda 30 metreküp su olduğu söylenmişti daha sonra buna bir miktar daha ekleyeceğiz veya bundan bir miktar çıkaracağız bakalım o zaman Artı diyelim sıfır zamanından te zamanına bakın Çünkü bu da Blue fonksiyonu te türünden de içeri net su akışını toplayacağız yani ne o kişiyle zamandaki küçük değişimleri çarpıp oluşan bu küçük değişimleri sıfırdan te zamanına kadar toplayacağız Böylece bu bize toplam net su girişini verecek tamam bizim net girişimiz ya da A kışımız nedir bizim zaten RT diye suyun hangi oranda giriş yaptığını veren bir fonksiyonu muz var aynı şekilde suyun çıkış oranını da veren bir de temiz var şimdi bu fonksiyonlarda değişken olarak te yerine kullanalım Çünkü te integral sınırlarımızdan birinde var biraz açmam gerekirse Aslında ilk yeme herhangi bir değişken de kullanılabilir Çünkü bu değişken integral almak için kullandığımız bir yer tutucu Evet başka bir şey değil Neyse biz fonksiyonlarda eksik kullanalım şimdi bizim net su akışımı zreik seksi değil xv Evet çarpı Dex olur tekrarlıyorum bu bizim akış oranımız yani içeriye su akışı eksi dışarıya su akışı yani ne takuş oranımızı artık istediğimiz zamandaki küçük değişim ile Çarpın bu sonra sıfırdan tepeye kadar topluyoruz oluşturduğumuz Bu da ve ve herhangi bir tel zamanında borudaki su miktarını verecek Tamam şimdi bu zaman aralığında Doblo'nun hangi noktada minimum olacağını bir düşünelim minimumu elde edebileceğimiz 3 ihtimalimiz var ilk olarak en başta yani Doblo sıfır da minimum olabilir ikinci olarak zaman aralığı mızın sonunda Yani te eşittir 8 için double u8 de bu iş olabilir En son olarak da belli onun yerel minimum olduğu yer bu iki Ucun arasında bir yerde olabilir ki böyle bir durumda da bloğunun türevi sıfır olur belki Öyleyse önce da böyle onun uç noktalardaki değerlerini ve hesaplayalım Yani daha böyle yu0 eşittir diyelim bakın Bunu zaten biliyoruz sınırlarımız sıfırdan sıfıra oluyor Ayrıca bize başlangıç durumunda boruda 30 metreküp suyumuzun olduğu da verilmişti o zaman Burası 30 Bu da böyle you 8 kaçtır bu ise 30 artı 0'dan 8'e belirli integral rexed de Exo çarpıp değiştir abi Yine iyiyiz bunu hesaplamak için burada hesap makinesi kullanmamıza izin var RX FedEx in tanımı neydi yukarıdan bir bakalım Evet işte buradalar hesap makinemiz e bunları girebiliriz şimdi bunu yapmanın bir sürü yolu var Ve siz Hesap makinesinde Ustalaştık ça Bunlardan bazıları eypi sınavında size Epey zaman kazandırabilir Neyse ben ise Şimdi burada Reis eksi değil sorarak bir fonksiyon tanımlayıcı o zaman te gördüklerimizin yerine x kullanacağız demektir şimdiye bir eşittir 20 çarpı sinüs x kare bölü 35 Parantezi kapatalım Eksi parantez aç şimdi ondalık A101 gül yerine nokta girelim eksi 0,0 dört çarpı ex40 artık 0,4 xxr artı 0,96 Çarpı x ve son olarak da Parantezi kapatalım bir gözden geçirelim doğru mu girdik acaba şöyle bir bakıyorum tüm değerler sanki Doğru evet 0,96 da var Tamam sıkıntı görünmüyor şimdiye birimizi tanımlamış olduk ve bununla birçok şey hesaplayabiliriz şöyle diyelim 30 artı Tabii hesap makinesinin matematik özelliği altında bunu yapıyorum belirli integral diyeceğiz ve içine koyacağımız fonksiyonu muz aiseye bir diyeceğiz bunun için var siyanie değişkenler tuşuna basalım veye varsa geçelim ve fonksiyonu seçelim Çünkü ye bir değişken imizi bir fonksiyon değişkeni yapacağız 2'ye biri seçtik buraya ye bir yazmak yerine integralini yazabilir dik ama böyle yaparsak sonrasında ye biri tekrar kullanabiliriz belki devam edelim integral değişken imiz iks ve alt sınırım sıfır üst sınırında 8 her şeyi yazmış mıyız bakalım evet tamamdır enter'a yani girişe bastık Evet ben yaklaşık olarak 48,5 144 geldi yani te eşittir 8'de Bu kadar metreküp suyumuz varmış Bunu biz de yazalım yaklaşık olarak 48,5 144 metreküp Tamam şimdi de bu ikisi arasında herhangi bir yerel minimum noktamız var mı yok mu Ona bir Bakalım eğer bir yerel minimum veya Maximum noktamız var ise o noktada biliyorum türevinin sıfır olacağını biliyoruz Öyleyse bakalım hangi TD türev 0 oluyor da böyle yurt e nin türevi eşittir sağa bu ülkeye göre türevi sıfırdır ve bunun teyze göre türevi de kalkülüsün temel teoreminden RT ekside tedir tekrarlıyorum Bu bir fonksiyon üst sınır limitimiz te var burada neye göre integral aldığımızın önemli de olmaksızın artık bu teoriye göre bir fonksiyon oldu şimdi bunun sıfır olması için bizim RT ekside tenin ne zaman sıfır olduğunu çözmemiz lazım Neyse ki Yine iyiyiz biz zaten RT eksi detey hesap makinesi neye bir olarak tanımlamış tık tekrar hesap makinemiz E gelelim burada sol var yani problem çözücü diye bir özellik var Onu kullanabiliriz bunun için yine matjani matematiğe gittik yukarıdan gidelim Evet işte bulduk solur burada tabi aşağıdan giderek de bulabilir dik belirli integralin tam altındaymış Neyse sonra tıklıyorum ve denklem İki nokta üst üste sıfır eşittir diyor buradaki bu yuen ifadesi İngilizce denklemin kısaltması şimdi bu noktada artık ye birimizi alabiliriz y değişkenleri m gidiyorum sonra fonksiyon diyorum ye biri seçiyorum denklem Tamamdır and yani girişe basıyorum Aslında buraya bir başlangıç Tahmini de koyabilirim ve denklemi hangi değişken için çözebileceği mi yazabilirim Bizimki zaten ksti Çünkü te yerine eksik kullanıyordum şimdi Alfa tuşuna basıyorum Sonra da sol yani çöze tıklıyorum şurada enter tuşunun üzerinde mavi renkte ww0 geldi Peki başka var mı başka elde edebilir miyim iki ile başlasak iki dedi kalfaya tıkla the queue çöz dedik biraz biraz bekliyoruz makineyi ama olsun Tamam bu aralığı mızın içinde bir değer Bu da yaklaşık üç Birgül 272 geldi bunu yazalım de yaklaşık ol ve hiçbir gel 272 de yerel bir minimum noktamız varmış ama daha bitmedi daha böyle Onun değerini bu TL değerinde hesaplama mız gerek yani daha böyle yağı 3,200 72 hesaplayalım ki Bu değerin gerçekten dabılyu sıfır wd Blue 8'den küçük olup olmadığını anlayabilir elim Peki bunu nasıl yapacağız Tabii Hesap makinesinde geriye gidebiliriz sakın yani ikinci tuşuna bastık ve kuvvet Dedikten Yani çıkış yaptıktan sonra değerimiz x değişkeninin de saklanmış olmalın Evet güzel işte burada Tamamdır hesaplayalım Biz fonksiyonu te eşittir 3,200 72d hesaplamak istiyorduk fonksiyonu muz 30 artı belirli integral içinde matjani matematiğe gidiyorum ve belirli integral diyorum önceden Rex i de ilk olarak tanımlamış olduğumuz ye bir fonksiyonu muz vardı onu o aldık integral değişken imiz XY yazdık alt sınırımız sıfır ve üst sınırımız 3,200 72 idi ama biz bunu ilk değişkeninde saklamış tık O yüzden ilk siyah saf yeter Bu biraz kafa karıştırıcı gibi ama olsun bu bize integral değişken imizi söylüyor Ben Bu da bizim üst limitimiz olan x işlerimiz oluyor bebek hesaplayalım bakalım evet Hadi bakalım makine ver bize sonucu Haydi ve Evet 27,9 165 geldi yani bu yaklaşık olarak 27,9 165 eşitmiş Tamam artık cevabı mızı verebiliriz hangi te zamanında borudaki su miktarı minimumdur şunu söyleyebiliriz te 3,200 72 iken boruda başlangıç durumuna kıyasla veya zaman aralığı mızın tam sonunda Yani te eşittir 8'deki ne kıyasla daha az su bardağı dır ya O hangi te zamanında ymış te eşittir 3,200 72 ders şöyle yazalım Bir de daha böyle Yoo 3,200 72 küçüktür Doblo sıfır O da küçüktür dabılyu sekiz Şimdi beş şunu yaptık türevin sıfır olduğu yerlerde yerel Maximum veya minimum olabileceğini biliyorduk daha sonra bu noktada bir baktık ki fonksiyonu muzun değeri sınırdaki değerlerden daha küçük O zaman bu minimum nokta yani te 3,200 72 deyken minimum değerimizi bulup