İleri Seviye Kalkülüs Soru Çözümü: Uzaklığı Hesaplamak İçin Riemann Toplamı

Oh be maddesi doğru birimleri kullanarak integralde eşittir sıfır Dante eşittir 40'a mutlak değer ve tdt belirli integralinin anlamını problemin bağlamında açıklayınız diyor zarimon toplamını tabloda verilen dört alt Aralık ile kullanarak bu integralin değerini yaklaşık olarak bulunuz diye eklemişler önce birinci kısmı halledelim bu belirli integralin anlamı nedir hız bir vektör bir yönü vardır buraya yukarıya baktığınız zaman bunu görebilirsiniz bazen hız pozitif iken bazen de negatiftir ve buna mantıklı bir yorum şöyle yapılabilir bu Jale'nin belli bir yönde gittiğindeki hızı derisse ki bu varsaydığımız yön pozitif iyon olur Bu da Jale'nin ters yönde gitmesi anlamına gelir yani Jale'nin burada pozitif hızı varken burada negatif hız var yani ters yönde belli bir sürati var Ve sonra tekrar pozitif Evet şimdi eğer bunların mutlak değerini alır iseniz Yani eğer sadece hızın büyüklüğünü dikkate alırsınız konuştuğumuz şey sürat olur Fakat bizim bahsettiğimiz şey sadece hızın mutlak değeri değil biz hızın mutlak değerinin zamana göre integralini alıyoruz zaman sıfırdan 40'a kadar Eğer suratını integralini alıyorsanız ve biliyorsunuz ki her küçük zamanda Yani dtd Jale'nin belirli bir süratı var E o zaman bu calinan kat ettiği mesafeyi yani yolu verir alınan yol ile yer değiştirme arasındaki farkı hatırlayın yer değiştirmeyi alınan netyol olarak düşünebilirsiniz yani Mesela ileri geri birçok kez gidip gelirseniz bunları alınan yola ek dersiniz ama yer değiştirme bağlamında Bunlar net olarak bakıldığında birbirini götürecekler yani buradaki bize Jale'nin 40 dakika bu zamanda aldığı toplam yolu verecektir yer değiştirmesini değil Eğer burada mutlak değer işareti olmasaydı O zaman yer değiştirmeden bahsediyor olacaktır Tamamdır şöyle bir yazalım integral sıfırdan 40'a mutlak değer ve tdt Jale'nin 40 dakika da aldığı toplam yoldur hatırlayın zaman birimimiz dakikaydı ve bize doğru birimleri kullanarak demişlerdi Evet bu yazdığımız cümle doğru birimi metredir Evet bunu da ekliyorum Tamam şimdi biz de sağır iman toplamını tabloda verilen 46 Aralık ile kullanarak bu integralin değerini yaklaşık olarak hesaplayın diyorlar Tamam ama sarı iman toplamıyla Acaba neyi kastediyorlar bunun için mutlak değer ve t yi şöyle bir çizelim ve bu arada biz o deri çizme işini bir önceki kısımda hal etmiştik Aslında bunu sınavda yapmanıza da gerek yok ama ben burada sarı iman toplamı dediğimizde ne yapacağınızı anlamanıza yardımcı olmak için bunu yapıyorum ve iki turuncu noktalarımız davete değerleri var ve biz bu ve tenin mutlak değerini göstermek istiyoruz Öyle değil onları da mor renkle gösterelim Evet bunun mutlak değeri bu ve bunun mutlak değeri de bu onun mutlak değeri de o bu Evet şimdi -220 nin mutlak değeri artı 220 Uğur burada görmüştük de eşittir 24 olduğun davete -220 oluyor yani Jale ters yönde tempolu koşuyor ama biz burada bunun mutlak değerini alıyoruz Öyleyse T24 eşit olduğunda sürat 220 olacaktır Çünkü mutlak değerini aldık O arada bu değerimiz de yaklaşık buralarda olur ve son olarak da bu noktanın mutlak değeri de kendisi olur şimdi biz sürat fonksiyonun gerçekte ne olduğunu bilmiyoruz gerçekten asıl sürat ponksiyonu Örneğin belki şöyle bir şeydir şöyle gider sonra bir de Nazlı çöker ve devam eder tekrar ediyorum biz gerçek sürat fonksiyonunun nasıl olduğunu bilsin işte bu ve tenin mutlak değeri ve buna sürat fonksiyonu da diyebileceğim izi söylemiştik Eğer bunun integralini almak istersek ve eğer fonksiyonu tam olarak bilmiyor ise konu nasıl tam olarak yapacağımızı da bilemeyiz ancak biz integrali mizin yaklaşık olarak ne olacağını sarı iman toplamı ile bulabiliriz riemann toplamı ise bu alanın dikdörtgensel bölgelere parçalanıp tüm bunların alanlarının toplanması E ne yapayım bunun için birkaç Yol Vardır her bir dikdörtgen için son sınır yükseklik olarak alabilirsiniz ya da sağ sınırı yükseklik olarak alabilirsiniz bizden ise soruda sarı iman toplamını kullanmamızı istemişler dediğimi yani her bir Aralıkta her bir dikdörtgen için alanın yaklaşık değerini bulurken fonksiyonu muzun sağ taraftaki değerini kullanacağız O zaman şöyle yapalım burasını 4 dikdörtgene bölelim zaten bize dört tane Aralık vermişlerdi şimdi bir aralığı mız sıfırdan te eşittir 12'ye kadar olur Bakın burada görüyoruz diyen aralığı mız 12'den 20'ye kadar olur sonraki aralığı mızda 20'den 24'de sonraki aralığı mızda 24'ten 40'a kadar gidiyor ve eğer bu bu toplamı kavramı size tamamen yabancı geliyorsa kan akademide kiriman toplamları videolarını izlemenizi öneririm bir Belki şimdi ilk aralığınız 0'dan 12'ye idi Ve biz sağ taraftaki fonksiyonu muzun değerini bu dikdörtgenin yüksekliği olarak tanımlamak istiyoruz o zaman hadi tanımlayalım bakalım bu bahsettiğimiz dikdörtgen bunun gibi bir şey olacak Tamam oldu evet bir sonraki dikdörtgen 12'den 20'ye kadar gider 12'den 20'ye olduğunu yukarıda görüyoruz o zaman fonksiyonu muzun 20 deki değerini bu dikdörtgenin yüksekliği olarak tanımlayalım yani şu şekilde olur mu Dur bir saniye burayı elle çizim Evet tamam şimdi oldu ve bir sonraki dikdörtgen tepsi eşittir 20'den te eşittir 24'e gider ve sağ tarafıyla O senin yüksekliğini tanımlamak istiyoruz biraz düzensiz olduğunu fark etmiş olabilirsiniz Ama bu tamamen normal sıkıntı yok hepsinin aynı genişlikte olması gerek yok burada yükseklik böyle birşey oldu be son aralığı mız çeşittir 24 tenth eşittir 40'a kadar sağ kenarı yükseklik olarak kullanıyorduk şimdi yaptığımız son Aralık burasıydı ve son aradığımızda Burası olacak ve yüksekliği mizi tanımlamak için sağ kenarı kullanıyoruz Bundan dolayı da sarı iman toplamı dediğimizi de söylemiştin ama şimdi mutlak değer ve ten integralinin yaklaşık değeri İşte bu dikdörtgenlerin alanları toplamı olacaktır şöyle yazalım Öyleyse integral sıfırdan 40'a kadar mutlak değer ve tdt yaklaşık olarak şu olur zamandaki ilk de işimiz ne kadar olur ise bununla bu yüksekliği ne yapacağız tamam bizim zamandaki ilk değişim miktarımız 12 o zaman 12 çarpı belki Yükseklik nedir Yani V12 merak ediyoruz bunun 200 olduğunu biliyorduk Öyle değil mi ve 12/200 dur o zaman burası 12 çarpı 200 oldu artık bir sonraki aralığınız 12'den 20'ye gidiyor Öyleyse Burası 8 çarpı buradaki yükseklik olacak Yani weyir belki nedir Bu ve yirmimizde 240 o zaman 8 çarpı 240 yaptık ve bir sonraki aralığı mızda 20'den 24'e kadardı buradaki zaman değişiminde 4 Evet belki 24 zamanında yüksekliği imiz ne kadardı bakalım hatırlayın biz bu değerini mutlak değerini almıştık Öyle değil mi buna artı 220 demiştik yani dört çarpı 200 Ne oldu burası ve son dikdörtgende zamandaki değişimi miz için 24'ten 40'a gidiyoruz yani zamandaki değişim 16'dır çarpı 40 da ki yükseklik diyeceğiz 150 diye hatırlıyorum Bir bakalım Evet 150 imiş Tamam çarpı 150 dedik Şimdi burada yaptığımız şeyin anlaşıldığından emin olmak için söylüyorum Burada yaptığımız şey bu dikdörtgenlerin alanlarını toplamaktan başka bir şey değil bu dikdörtgenin alanı 12 çarpı 200 bu dikdörtgenin alanı 8 çarpı 240 bu dikdörtgenin alanı dört çarpı 220v bu dikdörtgenin alanı da 16 çarpı 150 şimdi bakalım ne çıkacak Bunu hesaplayabiliriz evet sınavın bu kısmında hesap makinesi kullanılmıyor O yüzden bunu kendimiz yapacağız sıkıntı yok 12 çarpı iki 102400 eder Öyle de yok artık 8 çarpı 240 Bu da 1600 artı 320 yani 1920 yapar Doğru yaptık değil mi 8 çarpı 40 Mehmet 3 126600 Tamam doğru artık orası 886 bunu şöyle yapalım 15 çarpı 152 bin 250 olur ve biz buna bir tane daha 150 ekleri s2400 Olur öyle değil mi 2400w biz bunların hepsini toplamak istiyoruz bunu da en kolay yoldan yapalım 2400 6920 artı 880w artı bir tane daha 2400 Bu da bize şunu verir 10 gelir bir onluk geldi 969 unumuz var 18 artı 8 Bu da 26 yaptı Ve sonra 7 miz var var yani 7600 bu belki Burası eşittir 7600 müş minnet olması için una metre birimini de ekliyor Şimdi burada Az önce bulduğumuz şey bir alan değeri değil miydi alanlar metrekare türünden olmaz mı diyebilirsiniz ama hatırlayın Biz hız grafiğinin Altında ki alanı buluyoruz ve eğer birimlerimize bakarsanız mesela Şuradaki dikdörtgen için konuşalım 12 dakika ile 200 metre bölü dakikayı çarpıyor sunuz bunları çarptığınızda dakika dakikayı götürüyor ve geriye 2400 metre kalıyor yani alan olmasına rağmen birimlere baktığınızda birimimiz metre olur metrekare değil bu