AP Kalkülüs (İleri Seviye Kalkülüs) Soru Çözümü: Diferansiyel Denklem

a ve c maddesine geldik bakalım neymiş verilen diferansiyel denklemin başlangıç koşulu ef2 eşittir 3 olan özel çözümü ye eşittir efx olsun Buna göre ise çeşitli ki noktasında evin yerel bir minimumu vardır yerel bir maksimumu vardır Yoksa her ikisi de söz konusu değil midir Cevabınızı açıklayınız demişler Tamam bir noktada yerel minimum veya yerel Maximum olup olmadığını anlamak için fonksiyonu noktadaki türevine bakabiliriz Öyle değil mi eğer türev sıfır ise bu noktamız yerel minimum ya da yerel Maximum olmak için iyi bir adaydır Eğer sıfır değilse İkisi de değildir ve sıfır ise de bu noktanın yerel minimum mu yerel Maximum olduğunu bulmak için de ikinci türevin işaretlerinden faydalanabiliriz Peki öyleyse bir düşünelim Biz evin türevinde 2'nin neye eşit olduğunu hesaplamak istiyoruz Evet evin Türe bu csky burada değer bölü de hepsini aynı şeydir eşittir 2x -7 değil mi Bunu bir önceki problemde görmüştük ve Buradan da efin türevinde iki şuraya yazalım evin türevinde 2 eşittir 2 çay X2 eksiği eksikliği eşitken g Değeri neyse o Peki bizi çeşitli iken yeğenin değerinin ne olduğunu biliyor muyuz Tabii ki işte Tam burada bize vermişlerdi ye eşittir efix verilmişti Yani iki çeşittir iki Ken y eşittir 3 O zaman iki çarpı 2 -3 oldu bu da dört eksi üçten bire eşit olur ve 2'deki tür evimiz sıfır olmadığı için bu noktada bir yerel minimum ya da yerel Maximum söz konusu değildir diyeceğiz bunu şöyle de ifade edebiliriz zepp in türevi iki eşit değildir sıfır olduğundan bu eşittir 2 define yerel minimumu ne de yerel maksimumu vardır orası tamam şimdi bir sonrakini yapalım ye eşittir emix artı B verilen diferansiyel denklemin çözümlerinden biri olduğuna göre MB sabitlerinin değerlerini bulunuz Demişler bu ilginçmiş ve kim niye eşittir remix artı beğenin diferansiyel denklem izin bir çözümü olması üzerine düşünmeden önce şimdiye kadar elimizden ne var Gelin onları bir yazalım diye bölü değsin iki yüksek seviyeye eşit olduğunu biliyoruz yani böyle verilmişti değil mi yeğenini x göre ikinci türevini de biliyoruz 2 eksi Bey'e bölü deixa hatırlayın bu problemin be maddesinde bunu bulmuştuk bunu da şöyle ifade edelim iki -2 x artı y olarak görmüştük bu burada yerine koyarak ola biliyorduk Evet bunu da yazalım iki -2 x artı y Bunlar ye eşittir remix artı beğenin bir çözüm olabilme durumunu düşünmeden önce bildiğimiz şeyler Şimdi de y eşittir emax artı beyle çalışmaya başlayalım Bu bir doğru denklemi dir ve dedeye bölü de x eşittir buranın x göre türevi sadece M olur burası sabitleri x göre değişmiyor Dolayısıyla ise göre türevi sıfırdır bu sonuçta gayet mantıklı aslında Çünkü yeğenini x göre değişim oranı bizim doğru muzu neyim olacak öyle değil Tamam buradan biraz daha devam edebiliriz ikinci türevini alabiliriz yeğenin yüksek göre ikinci türevi eşittir sıfır olur Ve tabi lineer bir fonksiyon ikinci türevi sıfır olur değil mi Tamam Şimdi Elimizde olan bütün bilgiler bunlar bu tarafta kileri sorunun önceki kısımlarından al Evet bu taraftaki ileride ye eşittir remix artı beğenin birinci ve ikinci türevlerini alarak Peki bunlarla Biz Man'in ve beğeni ne olduğunu bulabilir miyiz Bir bakalım eşittir 2 yüksek siye diyebilir miyiz Yok hayır o zaman yanlış yapmış oluruz Burası biraz çeldirici kısım gibi geldi bana peki başka ne düşünebiliriz ikinci türevin sıfır olacağını biliyoruz burasının özel çözüm için 0 olacağını biliyoruz Ve değer bölü dek sineme eşit olduğunu biliyoruz burasının hem olduğunu biliyoruz Evet işte çıktı meyve bulmak için yeteri kadar bilgimiz varmış sıfır eşittir 2 exime olduğunu biliyoruz Hadi bunu yazalım sıfır eşittir 2 eksilme ve her iki tarafa M eklersek M eşittir 2 süper M yi bulduk Peki Acaba buradan harekette Başka ne yapabiliriz mesela mi Evet şurası m.dir ve bunu da iki bulmuştuk O zaman şöyle diyebiliriz 2 eşittir 2x eksi yedir Oradan da yeyi çekersek Ergi tarafa Yeller ve her iki taraftan iki çıkarırsak yeşi ttir 2x -2 3mw çözümümüz buymuş Öyleyse burada kime diğerimiz ve buradaki de değerimiz olur harika Hallettik bu kısmı biraz zorlayarak çıkardık gibi ama olsun bu tip bir durumla karşılaştığınız zaman sorun değil yani ne yapacağınızı aklınıza hemen getirmeye bilirsiniz bariz olarak ne yapacağınızı ilk bakışta o an fark edemeyebilirsiniz ki bu soruya baktığımda bakışta Benim de aklıma açıkçası hiçbir şey gelmemişti ve Ben de kendi kendime şimdiye kadar bana ne verdilerse bir yazayım dedim Böylece Burası önceden gelmişti dedim Burası da madem bir çözülmüş o Ben Buradan hareketle bir şekilde bunları kullanarak aradığımı bulabilir miyim diye düşündüm Bu arada burada kullanmadıklarını da var bunu kullanmadım Bunu zaten kullandım Kullandım O da kullandığım ve Evet bunu da kullandım sanki bu yaptığım eğlenceli küçük bir bulmaca çözmek gibi bize önceden Verilen her şeyi yazdım ve buradan hareketler MB yi bulabilir miyim diye baktım ve bu iki yüksek Sea çözümü gayet güzel bir çözüm şöyle Yukarıdaki eğim alanımızda buna bir bakarsak benim aklıma ilk seferde buradan bakmak gelmeyebilir de açıkçası ama düşündüğünüzde iki yüksek si 2'nin y eksenini kestiği noktaya -2 olur Bunu farklı bir renkle göstereyim doğru şöyle bir şey olur Bunun doğruluğunu göstermek isterseniz de bu noktalar Eğer birinde eğimin ikiye eşit olduğunu görebilirsiniz mesela Eğer 2,2 Yani ikiye iki noktasında yasak eğim İki kere iki eksi 2'den Evet iki olur 1,0 için bakarsak iki kere bir eksi sıfırdan iki gelir 01 gül -2 içinde sıfır eksi 2'den Evet iki olur gördüğünüz gibi Bu gayet güzel bir çözüm Çünkü etrafında eğimler sürekli değişiyor Ama bu çözüm baştaki diferansiyel denklemin birliğine her çözümü çıktı ve bundan dolayı ben bu çözümü sevdim ha