Çözümlü Örnek: Parametrik Yay Uzunluğu

o Pekala te parametresine bağlı x fonksiyonunun Cosinüs t y ve y teninde sinüste ye eşit olduğunu varsayalım bulmak istediğimizi ST eşittir sıfır ile te eşittir pipi böyle iki anasında kal eğrinin yağı uzun Hadi bakalım hemen videoyu durdurdum ve bundan önceki videolarda öğrendiklerimizi kullanarak bunu benden önce Kendi kendinize hesaplamaya çalışın şimdi isterseniz önce formülü gözden geçirelim ve sonra da bunu görselleştirme rek formülü Neden işe yaradığını anlamaya çalışalım formüle göre bu parametrik eğrinin yağı uzunluğu Evet integral parametrenin başlangıç noktası olan A'dan bitiş noktası olan Bey'e karekök içinde X'in Teye göre türevinin karesi artı yeğenin Teye göre türevinin karesi vdt Evet böyle hesaplanır bunu integral A'dan Bey bu karekök içinde de Exo bölü DT nin karesi artı de ye bölü DT nin karesi çarpı DT olarak da yazabiliriz tabi hangisini tercih ederseniz edin ikisi de aynı şey Peki bu formülü örneğimizde uygularsak tax bölü DT Evet bu neye eşit olur koşunuz tenant Eye göre turevi eksi sinüste dir öyle değil mideye bölü DT ise yani yeğenin teyze göre türevi sinüste nin türevi dekosin üsttedir bu durumda yay uzunluğu da evet eşittir integral sıfırdan pi bölü 2 ye gidecek karekök içinde ilk siteye göre türevinin karesi yani eksi sinüste nin karesi sinüste Kariye eşittir not edelim sinüs kare tv artı de ye bölü DT nin karesi de kosinüs kare t y eşittir de Köyü de unutmayalım Eğer bu noktada kendi o derece şanslı kabul edebiliriz Çünkü herhangi bir değişkenin kosinüsün karesiyle sinüsün Kalesi'nin toplamının biri eşit olduğunu biliyoruz bu bildiğimiz en temel trigonometrik özdeşlikler den biridir ve simitle kosinüsün bilim çember tanımlarından gelir ev 1'in karekökü biri eşittir Böylece bunu sıfırdan 1/2 ydt olarak yazabiliriz ve bu da burada bir olduğunu düşüneceğiz bunun ters türevi tepeye eşit olur öyle değil mi o halde bunun yani Tenin sıfır ve peely 2 de aldığı değerleri bulmamız lazım tahmin edeceğiniz gibi bunlar da 1/2 ve sıfır olacak Yani buradan 1/2 -0 yani 1/2 elde edeceğiz şimdi de isterseniz biraz Bunun mantıklı olup olmadığı hakkında konuşalım mehriye çizecek olur isek bu y ekseni ve bu da X ekseni olsun t0k nqsıl bu kurşunu 0 a Yani 1'e eşit yedeği yani 00 an eşit İşte tam olarak bu noktadayız peki tepi böl ikiye kadar artıyor Öyle değil mi Böylelikle birim çemberin birinci çeyreğini çizmiş oluyoruz ve tepi bölü iki eşit olduğunda da buraya geliyoruz bu durumda Tenin Rabia'nın türünden bir araç olduğunu düşünebiliriz ve gördüğünüz gibi bahsi geçen yay uzunluğu da birim çemberin çeyreğinin uzunluğunda çemberin çevresinin ne eşit olduğunu biliyoruz Öyle değil mi Evet iki pire birim Çemberin yarıçapı bir olduğuna göre çevresi 2pi dir ve bunun bir çeyreği de ilk ipini dörtte biri yani 1/2 eşittir kullandığımız bu havalı formülün temel geometride öğrendiklerimizle Uyumlu olduğunu görmek Umarım size de iyi gelmiştir bir