Fonksiyonun Bir Aralıktaki Ortalama Değerini Hesaplama

Diyelim ki, elimizde, f(x) eşittir x kare artı 1 fonksiyonu var ve bu fonksiyonun, sıfır virgül 3 kapalı aralığındaki ortalama değerini bulmak istiyoruz. Evet, her zaman olduğu gibi, şimdi, videoyu durdurun ve bu soruyu kendi başınıza cevaplamayı deneyin. Umarım bir fonksiyonun ortalama değeri hakkındaki diğer videoları önceden izlemişsinizdir. Evet, f fonksiyonunun bu aralıktaki ortalama değerini bulun. O halde, gelin, bu fonksiyonun grafiğini çizip, ortalama değerini bulmaya çalışalım. Bu y ekseni. Bu da x ekseni. Burası sıfır. Burası 1. 2 3 x sıfırken, f(x), 1 olacak. İşte burası, f(1), 2’dir. Burası 1’se, 2 3 ... dedik ama bir saniye, 10’a kadar çıkmamız gerekeceği için, ölçeği biraz küçültelim. Burası 10 olsun. Bu 5. Burası tam ortası. Evet, güzel oldu. Burayı da yapalım. x ve y eksenlerinin ölçeklerinin farklı olduklarını görüyorsunuz, değil mi? 2’nin karesi artı 1, 5. 3’ün karesi artı 1 ise, 10. Şimdi de noktaları birleştirelim. Evet, karşınızda y eşittir f(x)’in grafiği! Sıra, bu fonksiyonun sıfır virgül 3 kapalı aralığındaki ortalama değerini bulmakta. İsterseniz formülü uygulayabilirsiniz ama bunun yerine, gelin, formülün ne yaptığını anlamaya çalışalım. Ve tekrar ediyorum, lütfen bu formülü ezberlemeyin, boşuna vakit kaybetmeyin. Zaten ne yaptığını anladığınızda, ezbere gerek olmadığını da göreceksiniz. Fonksiyonun bu aralıktaki ortalama değeri için, ortalama değerini bulmak için, Fonksiyonun belirli integralini, yani buradaki alanı bulmamız gerekiyor. x kare artı 1’in, sıfırla 3 arasındaki belirli integrali. Ve bu alanı alıp, aralığın uzunluğuna bölersek, Buradaki ortalama uzunluğu, yani fonksiyonun ortalama değerini bulmuş oluruz, öyle değil mi? O halde, bunu, b eksi a’ya Yani 3 eksi sıfır, yani 3’e böleceğiz. Devam ediyorum. 1 bölü 3 çarpı... x karenin ters türevi x üzeri 3 bölü 3’tür. 1’in ters türevi de, x’tir. Bunu sıfırla 3 arasında değerlendireceğiz. 1 bölü 3 çarpı... Önce 3’te değerlendirelim. 3 üzeri 3 bölü 3 yani 27 bölü 3, 9. Artı 3 Şimdi de sıfırda değerlendirelim. Sıfır, eksi sıfır... O halde geriye, 1 bölü 3 çarpı 12 kaldı. Bu da, 4’e eşittir. Evet, fonksiyonun bu aralıktaki ortalama değeri 4’müş! Dikkat ederseniz, fonksiyonun burada, 2’den küçük, 1’den büyük bir x için, 4 değerini aldığını görebilirsiniz. Buna, isterseniz C diyebiliriz. İntegraller için ortalama değer teoremini duydunuz mu, bilmiyorum. Bunu daha sonra anlatacağım ama şekle geri dönecek olursak, 4, gerçekten de, ortalama değer gibi görünüyor, değil mi? Bu uzunlukla, bunu çarparsanız, bu alanı elde edersiniz. Ve bu alan, şu anda sarı ile boyadığım bu alan, eğrinin altındaki alana eşittir. Ortalama yükseklik çarpı bu uzunluk da, eğrinin altındaki alanı verir. Bu kadar kolay.