x-Ekseni Etrafında Disk Yöntemi

bu ekranda yere eşitlik stalin'in grafiğinin bir kısmını görüyoruz Bu videoda belirli integral süper güçlerimizi kullanarak alan yerine hacim hesaplayacağız isterseniz işe Alışık olduğumuz belirli integralin ne anlama geldiğini hatırlayarak başlayalım sıfırdan ikiye ikskare değilsin belirli integral Evet bu ne anlama geliyordu sınır değerlerini işaret diyeyim Burası sıfır ve Burası iki integral alırken X'in her değeri için çok küçük bir de x değerini hesaba katıyoruz mesela bunun söz konusu de işlerden biri olduğunu düşünelim bu dexsi fonksiyonunu x değerinde aldı değerle yani x kare ile çarpıyoruz hemen göstereyim buradaki de eksi fonksiyonun oks'de aldı değerli Yani bu yükseklikle çarpıyoruz yüksekliğini kare eşit olacağını biliyorsunuz değil mi Sonuç olarak bu dikdörtgenin alanını elde ederiz ve integral işareti de ilk seç 30 ile yüksek eşittir 2 arasındaki tüm iksara ait bu dikdörtgenlerin alanlarını toplamamız gerektiğini söyler bunun limiti buradaki deisler sonsuz derecede küçüldüğünde yalnız sıfır eşit olmayacak larında hemen söyleyeyim elimizde Sonsuz tane dikdörtgen olur evet belirli integral İşte bu anlama gelir de Excel küçüldükçe dikdörtgenler daraldıkça elimizde dikdörtgen sayısı da arttıkça eğrinin altında kalan alan için çok daha iyi bir tahmin elde etmiş oluruz limitini aldığımızda ise eğrinin altında kalan alanı buluruz şimdi bu fikri eğrinin altında kalan alanı bulmak için değil de eğriyi ilk 80 etrafında döndürdüğümüzde elde edeceğimiz hacmi bulmak için kullanacağız görsel becerilerimizi biraz zorlama mız gerekebilir bunun için hazır ol Hadi bakalım bunu yüksek Sen etrafında döndürürsek ne oldu döndürürsek bu arada grafiğe Tam da bu açıdan baktığımızda düşünelim bu nokta bu şekilde ilerler ve sonuç olarak ortaya buna benzeyen bir şekil çıkar elimden geldiğince düzgün bir çizim yapmaya çalışıyorum Evet buna benzeyen bir şekil elde ederiz fonksiyonun geriye kalan kısmı ise sıfırla iki aralığını değerlendirmemiz lazım bu şekilde çiziyorum garip bir şapka ya benziyor Öyle değil mi Evet biraz da gölgelendirme yapayım güzel Belki daha anlaşılır olur size ye eşittir ikskare yüksek Sen etrafında döndürdüğümde nasıl bir şekil elde edeceğimizi göstermeye çalıştım ve şimdi de bunun hacmini bulmamız lazım ama hacme geçmeden başka açılardan neye benzeyeceğini de göstereyim biraz zor diyorum değil mi üstten bakacak olursak Evet buna benzeyen bir şekil görürüz az önce de söylediğim gibi şu anki bir şapka ya benziyor Öyle değil mi bu açıdan bakarsak tabanı göremeyiz bununla bunun arasındaki ilişkiyi anlayabilmeniz için de eksenleri de çizeyim bu y ekseni Evet ilk 80'de doğrudan cismin içinden geçecek ve buradan Dışarıya çıkacak kesime yer şeffaf olsaydı arkasını da bu şekilde görürdük 80'de kesikli çizgilerle çiziyorum tam bu noktada Tabandan çıkardı ve bu şekilde yoluna devam ederdi Evet bu da aynı cismin Bir başka açıdan görüntüsü Şimdi de hacmi nasıl hesaplayabileceğiniz konusunda artık biraz kafayı olalım ilk dörtgenlerin her birinin alanını düşünmek yerine bu dikdörtgenleri de yüksek Sen etrafında döndürdüğümüzde ne olacağına bir bakalım çizmeye çalışacağım mesela buradaki de ikisi alıp ilk 80 etraf bu döndürür isek bu şekilde Evet ne olur ortaya madeni paraya benzeyen bir şekil çıkacağını görüyorsunuz değil mi isterseniz buraya da çizmeye çalışayım derinliği deex olacak evet evet bu paranın hacmini nasıl bulabiliriz Şuraya da biraz daha büyük olarak çizeceğim Çünkü bunu gözümüzün önüne getirebilme miz lazım Bu ilk sekseni bahsi geçen diskte buna benziyor ilk 80'de çizim Evet bu da diskin yüzeyi derinliği ddx olarak belirleyelim fena olmadı değil mi derinliği anlatabilmek için biraz da gölgelendirme yim Sizce bunun hacmi nasıl buluruz herhangi bir diske da silindir gibi düşünürsek önce yüzey alanını bulmamız lazım Sonra da bu yüzey alanını derinlikte çarpma mız Peki bir yüzey alanı nasıl bulunur o dairenin alanı pire karedir O halde yüzeyin yarıçapının ne olduğunu Bulabilirsek alanı da buluruz bir bakalım yarıçapın buradaki dikdörtgenin yüksekliği ya da uzun kenarı olduğunu görüyorsunuz diyeyim Bu da ixion herhangi bir değeri için yarıçapı Ne fikse yani Xperia eşit olacağı anlamına gelir Bakalım yarın x kare eşitse yüzey alanı da ilksin belirli bir değeri için pi çarpık x karenin karesine Yani ilk üzeri dörde eşit olsuna geldi hacme hacimde yüzey alanı çarpı derinlik demiştik derinlikte de eksi o halde bunu de ise çarpma mız lazım Evet bu diskin ya da para olduğunu da düşünebiliriz hacmini yüzey alanı çarpı değil x yani ipi çarpık screen in karesi yanix üzeri 4dx olarak yaz biz biliriz bu ifade bize Bu disklerden sadece bir tanesinin hacmini verir ama biz şapkaya benzeyen bu cismin tamamının hacmini bulmak istiyoruz bunu nasıl yapabileceğimizi hakkında bir fikriniz var hev hev buradaki Fikri kullanarak demek istediğim bunların hepsinin toplamını alacağız Hadi gelin deneyelim pi çarpı x üzeri 4dx lerin x eşittir sıfır ile hiç eşittir 2 arasındaki toplamlarını alırsak Bu arada bunların sınır değerlerimiz olduklarını da hatırlatayım ve bu değerleri rastgele seçtim yani başka değerlerde alabilirler Evet sıfırla iki Arasında tüm budistlerin hacimlerinin toplamını alırsak ve bu derinlikler sonsuz derecede küçüldük lerinde elimizdeki disklerin sayısı arttıkça limiti aldığımızda da cismin hacmini elde ederiz başka bir değişle bu belirli in de gel bize Bu cismin hacmini verir şimdi gelin İsterseniz bunu hesaplayalım Burası işin kalkülüs kısmı eşittir isterseniz videoyu durdurma integrali benden önce Kendi kendinize siz hesaplamayı deneyin pek pi'yi dışarıya alabiliriz eşittir pipi çarpıp sıfırdan ikiye ix3 üzeri 4dx bu rengi pek beğenmedim ilk üzeri dördün ters türevi iş üzeri 5 bölü 5 tir eşittir içerde ilk üzeri 5/5 2 de aldığı değerden sıfırla aldığı değeri çıkaracağız iyi çarpıp 255 Ha evet 253 8'dir 254 16 ve 255t 32 isterseniz böyle yazalım İki üzeri 5/5 -0 üzeri 5/5 255 e32 demiştik O halde bir çarpı 32/5 Burası sıfır olduğu için bu değişmeyecek ve sonuç 32p bölü 5 olacak işte bu kadar bu garip şeklin hacmini bulduk